第2章数论函数

在这里插入图片描述

2.1 积性函数

积性函数的定义

在这里插入图片描述

除数函数

在这里插入图片描述

2.2 高斯函数[x]

高斯函数[x]的性质

在这里插入图片描述

n!的标准分解式

在这里插入图片描述

2.3 欧拉函数φ(x)

欧拉函数φ(x)的定义

在这里插入图片描述

欧拉函数φ(x)值的计算

在这里插入图片描述

2.4 默比乌斯函数

默比乌斯函数的概念

若f为数论函数，则由f的函数值我们可以计算出f的求和函数F的值，那么反过来是否可以通过一个简便的方法由f的求和函数F的值来计算f的函数值呢？

本节我们将证明这样的方法确实存在。

设f为数论函数，F为f的求和函数
在这里插入图片描述
则
F(1)=f(1)
F(2)=f(1)+f(2)
F(3)=f(1)+f(3)
F(4)=f(1)+f(2)+f(4)
F(5)=f(1)+f(5)
F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
………………….
若求和函数F的值已知，则由上面的方程组可以求得
f(1)=F(1)
f(2)=F(2)-F(1)
f(3)=F(3)-F(1)
f(4)=F(4)-F(2)
f(5)=F(5)-F(1)
f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
………………….
由此我们观察到f(n)等于形如±F(n/d)的求和函数的值之和，其中d|n。进而我们得到等式
在这里插入图片描述
其中μ是一个数论函数。如果这个等式成立，则
μ(1)=1，μ(2)=-1，μ(3)=-1，μ(4)=0，
μ(5)=-1，μ(6)=1， μ(7)=-1，μ(8)=0，…

类似的可以证明对每个素数p，有μ(p^k)=0，其中k是大于1的整数。

如果我们能证明μ是积性函数，则μ的值可以由它在各个素数的幂次的值所确定。

由此得到如下定义：
在这里插入图片描述

接下来我们证明默比乌斯函数的求和函数是一个特别简单的函数。

默比乌斯反演公式

默比乌斯反演公式将提供给我们一个以求和函数F的函数值来表述函数f的函数值的方法。
在这里插入图片描述

利用默比乌斯反演公式可以很容易证明以前看起来似乎是很困难的结论。

2.5 完全数

出于某些神秘的信仰，古希腊人对那些除数和函数的函数值等于自身两倍的正整数非常感兴趣，这样的整数称为完全数。

完全数的概念

在这里插入图片描述

梅森数

梅森曾经研究过形如2^p-1的素数，并得到结论：当p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937时，2^p-1都是素数。
在这里插入图片描述