最近学习PCA，在求最大化方差 ${\sigma }^2=\frac{1}{P-1}{\sum }_{k=1}^P(v^T(x_k-\mu ){)}^2-\lambda ({\Vert v\Vert }^2-1)$ 时遇到了无偏估计的问题——为什么是P-1而不是P？整理了一些笔记写上来供参考，有错误的地方望批评指正。

简单理解

首先我们了解下无偏估计的定义：
估计量的数学期望等于被估计参数的真实值，则此估计量为被估计参数的无偏估计。

乍一看很绕口，我们从现实中的简单例子去解释会更好理解。
如果我们想知道一个城市人口的平均高度，我们可以通过采集该城市所有人的身高并计算平均值，这样得到的就是无偏的平均身高。
但实际情况是，出于成本考虑，我们不太可能去测量所有人的身高，于是我们通过采样来估计实际的平均身高。于是我们应用了随机采样等方法，而这些方法虽然没法准确地估计该城市的平均身高，但不同的采样方法均在真实平均身高附近波动，那么我们就可以说这个估计是无偏的。

类似的，我们用一下以下算法去估计总体方差：
$$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

以芯靶图为例，如果我们用n代入计算得到的预测值会偏离靶图中心；而用n计算，得到的值会在靶图中心。

数学证明及解析

将公式展开计算如下：
$$\begin{array}{rl}& s^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}\\ & E(s^2)=E(\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1})\\ & =\frac{1}{n-1}E[\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2]\\ & =\frac{1}{n-1}E[\sum _{i=1}^n[(x_i-\mu )-(\bar{x}-\mu ){]}^2]\end{array}$$

$E[{\sum }_{i=1}^n[(x_i-\mu )-(\bar{x}-\mu ){]}^2]$由$E[{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2]$加一个$\mu$括号里面再减一个$\mu$得到。展开得到：

$$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{n-1}E[\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2-2\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )(\bar{x}-\mu )+\sum _{i=1}^n(\bar{x}-\mu {)}^2]\\ & =\frac{1}{n-1}E[\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2-2(\bar{x}-\mu )\sum _{i=1}^n(x_i-\mu )+\sum _{i=1}^n(\bar{x}-\mu {)}^2]\\ & =\frac{1}{n-1}E[\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2-n(\bar{x}-\mu {)}^2]\\ & =\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^{n}E(x_i-\mu {)}^2-nE[(\bar{x}-\mu {)}^2])\\ & =\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^n{\sigma }_{x_i}^2-n{\sigma }_{\bar{x}}^2)\end{array}$$

其中，$\bar{x}-\mu$是个数所以能够被从求和符号内提出来。

又因为${\sigma }_{x_i}^2={\sigma }^2$，且${\sigma }_{x_i}^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$，因此：

$$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{n-1}(n{\sigma }^2-{\sigma }^2)\\ & =\frac{1}{n-1}(n-1){\sigma }^2\\ & ={\sigma }^2\end{array}$$

因此$E(s^2)$是${\sigma }^2$的无偏估计量。

Reference

https://www.zhihu.com/question/22983179
https://www.youtube.com/watch?v=wlcvRrYKkx8