【算法讲11：卡特兰数】默慈金数 | 那罗延数 | 施罗德数

$\lceil$卡特兰数$\rfloor$Catalan Number

引入

• 鸡蛋饼 | 洛谷 P1976
  一个圆上有 $2\times N$ 个不同的点。用 $N$ 条线段将他们两两相连
  要求：每个点都只能被一条线段相连，且线段都不相交。
  求方案数取模一个质数。 $N\le 2999$

思考

• 如果我们用 $dp$ 去做，肯定会想到一个 $O(N^2)$ 的方法，貌似可以过该题。
  设 $dp(i)$ 表示，有 $2i$ 个点，满足要求的方案数。
  我们把这 $2i$ 个点按顺时针编号排好。
  然后，我们以第一个点做基准，考虑该点和哪个点连线，对答案有多少方案数的贡献
  
  容易想到，点 $1$ 必须和 偶数号点相连 ，不然就会出现一侧只剩下奇数个点，无法满足要求。
  假设它和 $k$ 号点连接，那么一侧剩下 $k-2$ 个点，一侧剩下 $2i-k$ 个点。
  这就产生了两个子问题。子问题和原问题只有规模的变化，是等价的。
  因为只能选择偶数点，且和 $dp$ 定义吻合，我们按一对一对来计算绘图：
  
  一侧分为 $k$ 对点，分的方案数为 $dp(k)$；
  另一侧分为 $i-k-1$对点，分的方案数为 $dp(i-k-1)$
  按照乘法原则，我们把他们乘起来就是 $dp(i)$ 的一部分。
  然后枚举所有划分情况，即可得出：
  $$dp(i)=\{\begin{array}{ll}1& i=0\\ \underset{j=1}{\sum ^n}dp(j-1)dp(i-j)& i\ge 1\end{array}$$

$\lceil$卡特兰数$\rfloor$的性质

• 于是，我们得到了卡特兰数
  我喜欢记作 $Cat(i)$，也有记作 $Catalan(i)$ 与 $C_i$ 与 $h_i$ 的。
  根据百度百科 [1]，我们得到了卡特兰数的一些性质：

1. 定义式：
   $$Cat(i)=\{\begin{array}{ll}1& i=0\\ \underset{j=1}{\sum ^n}Cat(j-1)Cat(i-j)& i\ge 1\end{array}$$
2. 递推式:
   $$Cat(n)=Cat(n-1)\frac{4n-2}{n+1}$$
3. 关系式：
   $$Cat(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$$
   最残酷的是，这几个都要记住，每个式子都有自己的优点和缺点…
   神奇的是，卡特兰数在一些看似不同的题目中均有出现。

$\lceil$卡特兰数$\rfloor$的应用

图片均出自wikipedia

• 常规分析法
  就像上面引入的问题一样，每一步可以把大问题划分成两个小问题，然后乘起来求和。
  【鸡蛋饼】 | 洛谷 P1976
  【楼梯搭建】 | 洛谷 P2532
  【凸多边形的三角划分问题】
  【矩阵连乘方案数】
  【$N$个节点组成二叉树的方案数】
• 非常规分析法
  你每次可以向右或向上移动一格，且不能跨过对角线，从$(0,0)$走到 $(n,n)$的方案数
  
  抽象地，如果向右移动一格记作 $+1$，向上移动一格记作 $-1$，那么卡特兰数还可以表示为：
  每个元素为 $\pm 1$，且每一个前缀和都非负，且整个序列的和为 $0$ 的长度为 $n$ 的序列的个数。
  .
  【矩阵】 | 洛谷 P1722
  红色看做 $+1$ 黑色看做 $-1$，满足定义。
  .
  【栈】 | 洛谷 P1044
  栈的进入和进出相当于 $+1/-1$，前缀和非负表示栈内元素数非负，整个序列和为 $0$ 表示所有元素都进、出栈完成。
  .
  【球迷购票】 | 洛谷 P1754
  $50￥$ 相当于 $+1$，$100￥$ 要找零相当于 $-1$，和定义相符。
  `
  【$n$对括号的合法匹配个数】
  $($ 看做 $+1$，$)$ 看做 $-1$，和定义相符。
  .
  【有趣的序列】 | 洛谷 P3200
  这个问题，等价于：给定 $2\times n$的矩阵，矩阵中的所有元素构成一个 $1\sim 2n$的全排列
  要求矩阵下边的元素大于上边的，右边的元素大于左边的。
  求方案数。（这是什么？这是2020年蓝桥杯省赛的原题呀！）
  非常规思考法：我们依次 $1\sim 2n$ 摆放，每次选择摆放上行或者下行。
  要求上行个数每时每刻都要大于等于下行个数，那就设上行放一个元素即为 $+1$，下行放为 $-1$
  然后又又又符合定义了，答案就是 $Cat(n)$
  但是！ 这题 $n$ 比较大，模数又不是质数，我们目前阶段只能使用 3关系式 做（据说可以分治FFT做啥的？肯定我不懂了）。
  答案就是 $\frac{{\prod }_{i=n+2}^{2n}i}{{\prod }_{i=1}^{n}i}$
  还是不好办，我们使用 欧拉筛 求出每个数的最小质因数，然后把每个数都分解为一个质数和另一个因数。于是答案最终会变成一些质数的乘积，因为每一个分母都会被某个分子给约掉。

const int MAX = 2e6+50;

ll qpow(ll a,ll n,ll p){
    
    a%=p;ll res = 1LL;while(n){
    
    if(n&1)res=res*a%p;a=a*a%p;n>>=1;}return res;}

int ep[MAX],mp[MAX];
int vis[MAX],prime[MAX];
int cnt;
void shai(int n){
    
    
    mp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n;++i){
    
    
        if(!vis[i]){
    
    
            prime[++cnt] = i;
            mp[i] = i;
        }
        for(int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n;++j){
    
    
            vis[i * prime[j]] = 1;
            mp[i * prime[j]] = prime[j];
            if(i % prime[j] == 0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    
    
    int n,p;
    cin >> n >> p;
    shai(n*2);
    for(int i = 1;i <= n;++i)ep[i] = -1;
    for(int i = n + 2;i <= 2 * n;++i)ep[i] = 1;
    for(int i = n * 2;i > 1;--i){
    
    
        if(mp[i] < i){
    
    
            ep[mp[i]] += ep[i];
            ep[i/mp[i]] += ep[i];
        }
    }
    ll res = 1;
    for(int i = 2;i <= n * 2;++i){
    
    
        if(mp[i] == i){
    
    
            res = res * qpow(i,ep[i],p) % p;
        }
    }
    cout << res;
    return 0;
}

$\lceil$默慈金数$\rfloor$Motzkin Number

性质

• 记作 $M_i$

1. 定义式：
   $$M_i=\{\begin{array}{ll}1& i=1\\ 2& i=2\\ M_{i-1}+\underset{j=0}{\sum ^{i-2}}{M}_j{M}_{i-j-2}& i\ge 3\end{array}$$
2. 递推式：
   $$M_n=\frac{(2n+1)M_{n-1}+(3n-3)M_{n-2}}{n+2}$$
3. 关系式： 式子得到方法见下 [ 3 ]
   $$M_n=\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{C}_n^{2i}Cat(i)$$
   可以看到定义式和关系式都表示默慈金数和卡特兰数有某种联系
   咋连一个定义都没有？因为在数学的各分支中，默慈金数至少有十四个彼此不同的展现存在[2]

应用

• 【弦划分】
  一个圆上有 $N$ 个不同的点。
  画出彼此不相交的弦的方案数，即为 $M_N$
  
• 【Delta Wave】 | HDU 3723
  
• 从 $(0,0)$ 到 $(N,0)$，你每次可以向右上一格/向右下一格/向正右一格，且不能低于 $y$ 轴
  方案数就是 $M_N$ 。
  可以用关系式推导：假设有 $x$ 条上升线段，则必有 $x$ 条下降线段。
  我们首先从 $N$ 步中选出 $2x$ 步用于上升与下降，其余步数都是平右。方案数 $C_N^{2i}$
  接下来，如果上升表示 $+1$，下降表示 $-1$，要求所有前缀和都非负，且总和为 $0$
  这样满足 卡特兰数 的性质，故方案数为 $Cat(i)$
  然后枚举所有可能性累加即可。[ 3 ]
• 【计算】 | 51nod 1556
  长度为 $N$ 的序列，每个元素都为正整数。
  第一个元素为 $1$，相邻两个数的差不超过 $1$。求这样的序列的方案数。
  可以想到，默慈金数的要求：相邻差为 $1$ 满足，非负要求满足，但是头和尾相同要求没有满足。
  我们设 $dp(i)$ 表示满足的答案， $M_i$ 表示默慈金数。
  容易想到，$dp(i)=3dp(i-1)$再减去一些非法个数。
  
  乘以三是因为每一步可以向三个方向选择。(蓝箭头)
  非法个数是什么？就是第 $i-1$ 步，纵坐标正好为 $1$ 的方案数。(红箭头为非法方案，即 $M_{i-2}$)
  得到了：$dp(i)=3dp(i-1)-M_{i-2}$

ll M[MAX];
ll dp[MAX];
int main()
{
    
    
    int n;
    cin >> n;
    M[1] = 1;
    M[2] = 2;
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for(int i = 3;i <= n;++i){
    
    
        dp[i] = (3 * dp[i-1] - M[i-2]) % MOD;
        M[i] = M[i-1] * (2*i+1) % MOD + (3*i-3) * M[i-2] % MOD;
        M[i] = M[i] * inv(i + 2) % MOD;
    }
    dp[n] = (dp[n] + MOD) % MOD;
    cout << dp[n];
    return 0;
}

$\lceil$那罗延数$\rfloor$Narayana number

性质

• 记作 $N(n,k)$ [3]

1. 定义式：
   $$N(n,k)=\frac{1}{n}{C}_n^k{C}_n^{k-1}$$
2. 关系式：
   $$\sum _{i=1}^{n}N(n,i)=Cat(n)$$
   那罗延数和卡特兰数的关系可以从关系式中看到。
   看一下这张图：来源 [ 3 ]
   
   可以看到，$N(n,k)$ 表示你每次只能向右上一格/向右下一格，从 $(0,0)$ 到 $(2N,0)$，满足纵坐标非负要求，且峰 为 $k$ 个的方案数。
   所有的合法方案数，如果坐标系转九十度，等价为：
   每次可以向右走一格/向上走一格， 从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 不越过对角线的方案数
   这就得到了该关系式。

应用

• 【括号匹配】
  有 $n$ 对括号，共有 $k$ 对 $($ 和 $)$ 相邻的合法括号序列方案数为 $N(n,k)$

$\lceil$施罗德数$\rfloor$Schröder Number

定义

• 施罗德数也叫大施罗德数，也叫超级卡特兰数。记作 $S_n$

1. 定义式：
   $$S_n=\{\begin{array}{ll}1& n=0或n=1\\ S_{n-1}+{\sum }_{i=0}^{n-1}{S}_i{S}_{n-k-1}& n\ge 2\end{array}$$
2. 递推式：
   $$S_n=\frac{(6n-3)S_{n-1}-(n-2)S_{n-2}}{n+1}$$

应用

• 【又是走格子】
  
  $(0,0)$ 走到 $(n,n)$的格子，每次可以向右上走一格/向右走一格/向上走一格，且不超过对角线的方案数。 [ 4 ]

总结

• 卡特兰数 最常用到
  默慈金数、那罗延数、施罗德数是卡特兰数的拓展
• 每者的几何意义都有和走格子有关：
  卡特兰数 $Cat(n)$ ：$(0,0)$ 走到 $(n,n)$，移动规则为 $(1,0)、(0,1)$ 且不穿过对角线的方案数
  施罗德数 $S_n$ ：$(0,0)$ 走到 $(n,n)$，移动规则为 $(1,0)、(0,1)、(1,1)$ 且不穿过对角线的方案数
  默慈金数 $M_n$ ：$(0,0)$ 走到 $(n,0)$，移动规则为 $(1,0)、(1,-1)、(1,1)$ 且不穿过 $x$ 轴的方案数
  那罗延数 $N(n,k)$ ：$(0,0)$ 走到 $(2n,0)$，移动规则为 $(1,1)、(1,-1)$ 且不穿过 $x$ 轴，有 $k$ 个峰的方案数

参考与查阅

• [1] 百度百科：卡特兰数
• [2] 百度百科：默慈金数
• [3] 百度百科：那罗延数
• [4] 百度百科：施罗德数