随机过程（高斯随机过程、谱分析、白噪声）

正态随机过程

1.定义

• 随机过程 $X(t)$ 的任意 $n$ 维（任取 $n$ 个时间点）联合概率分布都是正态分布就说 $X(t)$ 为正态随机过程。
• 一个结论：对正态过程来说广义平稳与严格平稳是等价的。

2.概率密度

                            p n ( X ) = 1 ( 2 π ) n ∣ ∑ ∣ e x p { 1 2 ( X − μ ) T ∑ − 1 ( X − μ ) } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~p_n(\boldsymbol{X}) = \dfrac{1}{\sqrt{(2\pi)^n|\sum|}}exp\{\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^T\sum^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})\}                            pn​(X)=(2π)n∣∑∣ ​1​exp{ 21​(X−μ)T∑−1(X−μ)}
 
        ~~~~~~~        其中 $\mu$ 表示均值，$c_{ij}$ 表示协方差，$r_{ij}$ 表示相关系数。
$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\mathbf{\mu }=\left[\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\\ ⋮\\ {\mu }_n\end{array}\right]\sum =\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right]$$
$$c_{ii}={\sigma }_i^2，c_{ij}={\sigma }_i{\sigma }_j{r}_{ij}$$

• 一个重要的公式：$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{x}$$

3.特征函数

$${\Phi }_X(\mathbf{\omega })=exp(j{\mathbf{\omega }}^T\mathbf{\mu }-\frac{1}{2}{\mathbf{\omega }}^T\sum \mathbf{\omega })$$
$$\mathbf{\omega }=[{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n]$$

平稳随机过程的谱分析

1.能量谱与功率谱

• 能量频谱密度：$|S(\omega ){|}^2$，表示信号的各个分量能量在频域上的分布。
• 信号总能量等于各频谱分量的能量之和。
  $$E={\int }_{-\infty }^{\infty }|s(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|S(\omega ){|}^{2}d\omega$$
• 功率谱密度（对一个函数 $X(\omega )$）：$$G(\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{|X(\omega ){|}^2}{2T}$$

2.功率谱密度与相关函数的关系

两者是一对傅里叶变换
$$\begin{array}{cc}{G}_X(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\ & \\ R_X(\tau )& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{G}_X(\omega )e^{j\omega \tau }d\tau \end{array}$$

白噪声

• 定义：均值为零、功率谱密度在无限宽的频域内为常量。
• 相关函数和功率谱密度分别为：
  $$\begin{array}{c}{G}_X(\omega )=\frac{N_0}{2}(-\infty <\omega <\infty )\\ \\ R_X(\tau )=\frac{N_0}{2}\delta (\tau )\end{array}$$
• 相关系数：
  $$r(\tau )=\{\begin{array}{c}1\tau =0\\ 0\tau \ne 0\end{array}$$
• 相关时间：
  $${\tau }_0={\int }_0^{\infty }r(\tau )d\tau =0$$
  相关时间为零说明白噪声的变化非常快，并且任意两个时刻都没有相关性。