【统计学笔记】第六章 统计量及其抽样分布

第六章 统计量及其抽样分布

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6.1 统计量

• 是统计量：
  

• 不是统计量：
  

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6.2 由正态分布导出的几个重要分布

6.2.1 抽样分布

• 抽样分布：是样本统计量的分布
• ${\chi }^2分布、t分布、F分布常称为统计三大分布$

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6.2.2 ${\chi }^2$分布：

• ${\chi }^2$分布的定义：
  
• ${\chi }^2$分布的定义的符号表达：
  $$\begin{gathered} 有X_1,X_2,......,X_n相互独立 \\ if： \\ {X}_i\sim N(0,1)； \\ then： \\ \sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)； \end{gathered}$$
• ${\chi }^2$分布的期望和方差：
  
• ${\chi }^2$分布的$p$分位数：
  

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6.2.3 $t$ 分布

• t分布的定义
  
• t分布的定义的符号表达：
  $$\begin{gathered} 有X与Y相互独立 \\ if： \\ X\sim N(0,1)， \\ Y\sim {\chi }^2(n); \\ then： \\ t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)； \end{gathered}$$
• t分布的期望和方差
  
• t分布跟小样本息息相关：
  
• 和t分布有关的抽样分布：
  
  

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6.2.4 $F$ 分布

• $F$ 分布的定义：
  
• $F$ 分布的定义的符号表达：
  $$\begin{gathered} 有Y和Z相互独立 \\ if： \\ Y\sim {\chi }^2(m)， \\ Z\sim {\chi }^2(n)； \\ then： \\ X=\frac{Y/m}{Z/n}\sim F(m,n)； \end{gathered}$$
• $F$ 分布的期望和方差：
  
• $F$ 分布的$p$分位数：
  
• $F$分布和$t$分布的关系
  $$\begin{gathered} if： \\ X\sim t(n) \\ then： \\ {X}^2\sim F(1,n) \end{gathered}$$

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6.3 样本均值的分布和中心极限定理

• 样本均值的分布
  
  
  $$\begin{gathered} X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)\to \frac{X-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2}}=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1) \\ \overline{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)\to \frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2/n}}=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1) \end{gathered}$$
• 中心极限定理（n要充分大）
  
  什么是充分大呢：