常系数齐次线性微分方程的解法
常系数齐次线性微分方程的形式：
d n x d t n + a 1 d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 d x d t + a n x = 0 (1) \frac{d^nx}{dt^n}+a_1\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}\frac{dx}{dt}+a_nx=0\tag{1} dtndnx+a1dtn−1dn−1x+⋯+an−1dtdx+anx=0(1)
特征方程为
F ( λ ) ≡ λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 λ + a n = 0 (2) F(\lambda)\equiv\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n=0\tag{2} F(λ)≡λn+a1λn−1+⋯+an−1λ+an=0(2)
求解特征方程，得到特征根，下面对特征根的不同情况进行讨论
- 特征根是单根的情形
如果特征根都为实数，方程的通解为：
x = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t + ⋯ + c n e λ n t (3) x=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_ne^{\lambda_nt}\tag{3} x=c1eλ1t+c2eλ2t+⋯+cneλnt(3)
如果特征根为复根，则复根会成对共轭的出现，设 λ 1 = α + i β \lambda_1=\alpha+i\beta λ1=α+iβ, λ 2 = α − i β \lambda_2=\alpha-i\beta λ2=α−iβ,则实值解为：
e α t cos β t , e α t sin β t e^{\alpha t}\cos\beta t,\qquad e^{\alpha t}\sin\beta t eαtcosβt,eαtsinβt
把（3）中的 e λ 1 t e^{\lambda_1 t} eλ1t, e λ 2 t e^{\lambda_2 t} eλ2t 换成 e α t cos β t , e α t sin β t e^{\alpha t}\cos\beta t,e^{\alpha t}\sin\beta t eαtcosβt,eαtsinβt，即可。
所以方程的通解为
x = c 1 e α t cos β t + c 2 e α t sin β t + ⋯ + c n e λ n t (4) x=c_1e^{\alpha t}\cos\beta t+c_2e^{\alpha t}\sin\beta t+\cdots+c_ne^{\lambda_n t}\tag{4} x=c1eαtcosβt+c2eαtsinβt+⋯+cneλnt(4)
- 特征根有重根的情形
λ i \lambda_i λi 是 k i k_i ki 重根，则方程的通解为
x = c 11 e λ 1 t + c 12 t e λ 1 t + c 13 t 2 e λ 1 t + ⋯ + c 1 , k 1 t k 1 − 1 e λ 1 t + c 21 e λ 2 t + c 22 t e λ 2 t + c 23 t 2 e λ 2 t + ⋯ + c 2 , k 2 t k 2 − 1 e λ 2 t ⋮ \begin{aligned} x&=c_{11}e^{\lambda_1t}+c_{12}te^{\lambda_1t}+c_{13}t^2e^{\lambda_1t}+\cdots+c_{1,k_1}t^{k_1-1}e^{\lambda_1t}\\ &+c_{21}e^{\lambda_2t}+c_{22}te^{\lambda_2t}+c_{23}t^2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_{2,k_2}t^{k_2-1}e^{\lambda_2t}\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots\\\end{aligned} x=c11eλ1t+c12teλ1t+c13t2eλ1t+⋯+c1,k1tk1−1eλ1t+c21eλ2t+c22teλ2t+c23t2eλ2t+⋯+c2,k2tk2−1eλ2t⋮
如果存在复根,与上述讨论同理