非传统定点数（一）

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非传统定点数（一）

有符号数（Signed Digit Number，SD）

​ SD 和 SM（Signed-Magnitude）不同，具有三重值 { 0 , 1 , − 1 } \{0,1,-1\} { 0,1,−1} 其中 -1 也常写成 $\overline{1}$ .已经证明SD数应用在不用进位的加法器和乘法器中能够降低复杂性。

SD码编码示例：
$$14_{10}=16_{10}-2_{10}=100\overline{1}0$$

$$14_{10}=8_{10}+4_{10}+2_{10}=01110$$

​ 可以看出SD码是不唯一的。事实上，要降低乘法的工作量，需要降低运算中非零元素的数量。我们称拥有最少非零元素的SD码为CSD码。

最佳CSD编码

最佳CSD编码：

1. 从最低有效位开始，用 $10\cdots 0\overline{1}$ 取代所有大于 2 的 1 序列。此外，还需要用 $110\overline{1}$ 取代 $1011$
2. 从最高位开始，用 $011$ 代替 $10\overline{1}$

该方法给出一个非零元素最少的SD码，且其中的减法次数最少。

示例：
$$27_{10}=11011_{CSD}=1110{\overline{1}}_{CSD}=10\overline{1}0{\overline{1}}_{CSD}$$
虽然第一步没有减少非零元素的个数，但是它使用加法替代了减法。最终，这一算法将 3 次加法简化为了两次减法。

​ 观察 $011_2$ ，如果将其转换为 $10\overline{1}$ ，那么实际上是复杂化了运算，将一次加法变成了一次减法。这也就是最佳CSD编码第二步操作的意义。

分数CSD编码

​ 使用整型数实现分数会导致很大的误差，使用CSD编码可以降低这一误差。

例如$y=7x/8$，可以写成以下几种实现方式：
$$y0=(7x)/8$$

$$y1=(x/8)\ast 7$$

$$y2=((4+2+1)x)/8=(x/2)+(x/4)+(x/8)$$

$$y3=((8-1)x)/8=x-(x/8)$$

不难看出，$y2$ 是普通二进制码，$y3$ 是CSD码

使用Verilog实现上述代码并观察结果（iverilog）：

module csd(
 input [4:0] x0,
 
 output [4:0] y0,
 output [4:0] y1,
 output [4:0] y2,
 output [4:0] y3
);

assign y0 = 7*(x0)/8;
assign y1 = (x0/8)*7;
assign y2 = x0/2+x0/4+x0/8;
assign y3 = x0-x0/8;

endmodule

`timescale 1ns/100ps

module csd_tb;


reg [4:0] x0;
wire [4:0] y0;
wire [4:0] y1;
wire [4:0] y2;
wire [4:0] y3;

/*iverilog */
initial
begin            
 $dumpfile("wave.vcd");        //生成的vcd文件名称
 $dumpvars(0, csd_tb);    //tb模块名称
end
/*iverilog */
initial
begin
 x0 = 1;
 #10
     x0 = 3;
 #20
     x0 = 6;
 #30
     x0 = 9;
 #100
     $stop;
end


csd cds_ut0 (
 .x0(x0),

 .y0(y0),
 .y1(y1),
 .y2(y2),
 .y3(y3)
);


endmodule

输出结果如下：

可以看出CSD码有效的降低了量化误差。因为实际上除以2的幂的除法是通过移位实现的，误差最大的 $y1$ 实际上在第一步就已经损失了低3位。

自由进位加法器

​ SD编码可以实现自由进位加法，通过LUT进行计算，表如下：

​ 实现上表需要一个 $2^8\times 4$ 的LUT，计算出 $u_k$ 和 $c_k$ 后将 $c_k$ 左移一位与 $u_k$ 相加即可得到结果。

乘法-加法器图（Multiplier Adder Graph，MAG）

​ 在最优CSD意义中，经常是先将系数分解成几个因子，再实现具体因子效率比较高。

例如系数93的实现方式可以有以下几种：
$$93=3\times 31=(1+2)\times (32-1)$$

$$93=64+32-4+1$$

用流程图表示如下：

对数系统（Logarithmic Number System，LNS）

​ 对数系统与固定尾数和分数指数构成的浮点数制类似，使用如下方式表示：
$$x=\pm r^{\pm e_x}$$
​ 其中 $r$ 是数制的基数，$e_x$ 是对数数制的指数。

举例说明其在计算机中的格式：

假设一个基数为 2 的 9 位 LNS 数，其构成为两个符号位，三位整数精度和四位分数精度：00 011.0010，格式如下：

符号 $S_x$	指数符号 $S_e$	指数整数位 $I$	指数分数位 $F$
0	1	100	1110

其十进制表达式为：
$$2^{-3-1/8}=2^{-3.125}$$
注意到指数部分使用补码表示。

​ 9 位 LNS 能表示的最大数是 $2^{8-1/16}\approx 256$，最小数是 $2^{-8}=0.0039$，和传统定点数相比 LNS 在数字较小的时候采样率更高，更加精细。

​ 历史上，LNS 的优势在于能够有效实现乘法、除法、求平方根或平方，因其可以将以上运算转换为加法、除法和乘法。但是加法和减法的复杂度会增加，加减法使用如下方式进行：

假设 $A>B$
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ C&=A+B=2^{e_a}…
可以得到 $e_c=e^a+lo{g}_2({\varphi }^{+}(\Delta ))$。同理，对于减法有 ${\varphi }^{-}(\Delta )=1-2^{e_b-e_a}$，$e^c=e^a+lo{g}_2({\varphi }^{-}(\Delta ))$

参考文献：Digital Signal Processing with Field Programmable Gate Arrays --U.Meyer-Baese