原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2605

基站选址

题目描述

有 $N$ 个村庄坐落在一条直线上，第 $i (i > 1)$ 个村庄距离第 $1$ 个村庄的距离为 $D_i$ 。需要在这些村庄中建立不超过 $K$ 个通讯基站，在第 $i$ 个村庄建立基站的费用为 $C_i$ 。如果在距离第 $i$ 个村庄不超过 $S_i$ 的范围内建立了一个通讯基站，那么就村庄被基站覆盖了。如果第 $i$ 个村庄没有被覆盖，则需要向他们补偿，费用为 $W_i$ 。现在的问题是，选择基站的位置，使得总费用最小。

输入格式

输入文件的第一行包含两个整数 $N, K$ ，含义如上所述。

第二行包含 $N - 1$ 个整数，分别表示 $D_2,D_3,\cdots,D_N$ ，这 $N - 1$ 个数是递增的。

第三行包含 $N$ 个整数，表示 $C_1,C_2,\cdots,C_N$ 。

第四行包含 $N$ 个整数，表示 $S_1,S_2,\cdots,S_N$ 。

第五行包含 $N$ 个整数，表示 $W_1,W_2,\cdots,W_N$ 。

输出格式

输出文件中仅包含一个整数，表示最小的总费用。

输入输出样例

输入 #1
3 2
1 2
2 3 2
1 1 0
10 20 30
输出 #1
4

说明/提示

40%的数据中， $\leq 500$ ；

100%的数据中， $K\leq N$ ， $K\leq 100$ ， $N\leq 20,000$ ， $D_i \leq 1000000000$ ， $C_i\leq 10000$ ， $S_i \leq1000000000$ ， $W_i \leq 10000$ 。

题解

可恶，我明明是来学数据结构的啊！

首先，此题一眼望去就感觉跟数据结构没什么关系，找不出到底要维护什么。反而更像个动态规划题，不如先看看朴素的动态规划该如何处理。

设 $d p [i] [j]$ 为只考虑前 $i$ 个村庄，且第 $j$ 个基站就建在第 $i$ 个村庄时的最小花费，那么转移方程就是： $dp[i][j]=min_{k\in[1,i)}(dp[k][j-1]+\sum_{p\in(k,i)且未被覆盖}w[p])+c[i]$

这是将第 $j$ 座基站建在第 $i$ 个村庄的情况，我们需要快速求一个最小值。假若 $i$ 村庄不建设基站，则对于被覆盖范围为 $[k, i]$ 的村庄（对于第 $p$ 个村庄，它的被覆盖范围就是离第 $1$ 个村庄的距离 $\in[d[p]-s[p],d[p]+s[p]]$ 的村庄编号范围)来说，之后的村庄建设基站肯定不可能再覆盖到它了，若上一个基站建设在第 $k$ 个村庄之前，就需要补偿，后面的 $d p$ 值如果需要从转移 $k$ 之前的转移，则需要加上此类村庄的补偿费用，即我们需要对区间 $[1, k - 1]$ 的村庄都进行一次区间加操作。

看到这里，就是一棵维护最小值并支持区间加的线段树的故事了。同时，我们需要维护每个村庄的被覆盖范围 $s t [i], e d [i]$ ，

建树时，初始值为 $d p [i] [j - 1]$ ，之后遍历所有村庄，先按照转移方程取一次最小值更新 $d p [i] [j]$ ，然后再找到所有 $e d$ 值 $= = i$ 的村庄 $p$ ，为区间 $[1, s t [p] - 1]$ 加上 $w [i]$ ，就能完成一轮更新。

由于每次 $d p [i] [j]$ 只会从 $j - 1$ 的部分求值，在建树完成后就不会再使用了，所以我们可以使用滚动数组，减少掉一维空间。

至于统计 $e d$ 值为 $i$ 的村庄，我使用了vector数组，也有大佬使用了链式前向星，纯凭个人喜好。求 $s t, e d$ 数组的时候如果使用lower_bound函数，则需要检查 $e d$ 是否满足 $d [e d [i]] > d [i] + s [i]$ ，有则需要将 $e d [i] - 1$ ，因为lower_bound返回的是大于等于查找值的值的下标，而我们要找的实际上是小于等于查找值的。

代码

因为 $d p [i]$ 表示在 $i$ 点建基站时的最优花费，且没有考虑之后的村庄，我们可以在所有村庄的最后面多加一个必定会被选中的村庄（ $c [i] = 0$ )，这样直接与 $d p [n]$ 取 $m i n$ 就能得到答案。

#include<bits/stdc++.h>
#define ls v<<1
#define rs v<<1|1
using namespace std;
const int M=20005;
struct node{
    
    int le,ri,mn,delta;}tree[M<<2];
int n,k,ans,d[M],c[M],s[M],w[M],st[M],ed[M],dp[M];
vector<int>bound[M];
void up(int v){
    
    tree[v].mn=min(tree[ls].mn,tree[rs].mn);}
void build(int v,int le,int ri)
{
    
    
    tree[v].le=le,tree[v].ri=ri,tree[v].delta=0;
    if(le==ri){
    
    tree[v].mn=dp[le];return;}
    int mid=le+ri>>1;
    build(ls,le,mid);build(rs,mid+1,ri);
    up(v);
}
void push(int v,int delta){
    
    tree[v].mn+=delta,tree[v].delta+=delta;}
void down(int v){
    
    if(tree[v].delta)push(ls,tree[v].delta),push(rs,tree[v].delta),tree[v].delta=0;}
void add(int v,int le,int ri,int delta)
{
    
    
    if(le>ri)return;
    if(le<=tree[v].le&&tree[v].ri<=ri){
    
    push(v,delta);return;}
    down(v);
    if(le<=tree[ls].ri)add(ls,le,ri,delta);
    if(tree[rs].le<=ri)add(rs,le,ri,delta);
    up(v);
}
int ask(int v,int le,int ri)
{
    
    
    if(le>ri)return 0;
    if(le<=tree[v].le&&tree[v].ri<=ri){
    
    return tree[v].mn;}
    int r=INT_MAX;
    down(v);
    if(le<=tree[ls].ri)r=ask(ls,le,ri);
    if(tree[rs].le<=ri)r=min(r,ask(rs,le,ri));
    return r;
}
void in()
{
    
    
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=2;i<=n;++i)scanf("%d",&d[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&s[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&w[i]);
}
void ac()
{
    
    
    ++n,++k;
    d[n]=w[n]=INT_MAX;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    st[i]=lower_bound(d+1,d+1+n,d[i]-s[i])-d,
    ed[i]=lower_bound(d+1,d+1+n,d[i]+s[i])-d,
    ed[i]-=d[ed[i]]>d[i]+s[i],
    bound[ed[i]].push_back(i);
    for(int i=1,tmp=0,j;i<=n;++i)
    for(dp[i]=tmp+c[i],j=bound[i].size()-1;j>=0;--j)tmp+=w[bound[i][j]];
    ans=dp[n];
    for(int i=2,j,p;i<=k;++i,ans=min(ans,dp[n]))
    for(build(1,1,n),j=1;j<=n;++j)
    for(dp[j]=ask(1,1,j-1)+c[j],p=bound[j].size()-1;p>=0;--p)
    add(1,1,st[bound[j][p]]-1,w[bound[j][p]]);
    printf("%d\n",ans);
}
signed main()
{
    
    
    in(),ac();
    system("pause");
}

Luogu2605 [ZJOI2010]基站选址