原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5607

无力回天

题目描述

给你一个长度为 n 的整数序列 $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ ，你需要实现以下两种操作，每个操作都可以用四个整数 $opt\;l\;r\;v$ 来表示：

$o p t = 1$ 时，代表把一个区间 $[l, r]$ 内的所有数都 xor 上 $v$ 。

$o p t = 2$ 时，查询一个区间 $[l, r]$ 内选任意个数（包括 $0$ 个）数 xor 起来，这个值与 $v$ 的最大 xor 和是多少。

输入格式

第一行有两个正整数 $n, m$ 。第二行有 $n$ 个整数表示给你的序列。之后 $m$ 行每行有四个整数 $o p t, l, r, v$ 表示一个操作。

输出格式

对于每个 $o p t = 2$ 的操作，输出一行一个数表示答案~

输入输出样例

输入 #1
4 5
1 14 51 4
2 1 3 0
1 2 3 3
2 1 4 10
1 1 4 514
2 3 4 2
输出 #1
61
63
560

说明/提示

Idea：nzhtl1477，Solution：nzhtl1477，Code：nzhtl1477，Data：nzhtl1477

对于 $100\%$ 的数据，满足 $\le n , m \le 5 \times 10^4$ ，值域在 $0,10^9]$ 之间

题解

好家伙，做省选数据结构本来是想复习数据结构，结果都是加一些非数据结构骚操作。

通过回忆，要求最大异或和，需要一个叫做线性基的东西，而线性基的大小是 $O(log_2值域大小)$ 的，对于这道题就是 $30$ ，那么自然想到可以通过线段树来维护区间的线性基，复杂度为 $O(nlog_2nlog_2^2值域大小)$ 三个log满足时限。

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但是问题来了，本题还有区间异或的操作，因为 $v,a_1,a_2\cdots ,a_n$ 的线性基不一定等于 $a_1\oplus v, a_2 \oplus v,\cdots,a_n\oplus v$ 的线性基，所以打标记区间修改的思路不成了。我们注意到，区间修改不容易解决，但是单点修改的话就只需要合并线性基就行了。区间转单点，就会想到差分的思路。再深入考察，发现异或运算是与自己可逆的（即 $\oplus b \oplus b =a)$ ，同时满足交换律结合律，所以差分就有了实现的可能。

设 $b_i=a_{i-1}\oplus a_i$ ，则满足如下性质：
$a_i=b_1\oplus b_2\oplus\cdots\oplus b_i$

且 $b_{l+1}\sim b_r$ 是由 $a_l\sim a_r$ 两两异或得到的，所以 $a_l,b_{l+1}\sim b_r$ 的线性基与 $a_l\sim a_r$ 的线性基相同。于是就有了最终的解决方案：用线段树维护 ${b_i\}$ 的线性基，然后线段树/树状数组维护 ${b_i\}$ 。询问区间 $[l, r]$ 时，查询 $b_{l+1\sim r}$ 的线性基，再求 $b_{1\sim l}$ 的异或和得到 $a_l$ 加入线性基，之后按位贪心就能得答案；修改就是基本的差分数列修改。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ls v<<1
#define rs v<<1|1
#define lb(v) v&(-v)
using namespace std;
const int M=5e4+5;
struct node{
    
    int base[35];}tree[M<<2];
int n,m,que[M],xsum[M];
void xadd(int v,int x){
    
    for(;v<=n;v+=lb(v))xsum[v]^=x;}
int xask(int v){
    
    int r=0;for(;v;v-=lb(v))r^=xsum[v];return r;}
node up(node a,node b)
{
    
    
    for(int i=0;i<=30;++i)
    for(int j=30;j>=0;--j)
    if(a.base[i]&(1<<j))
    if(b.base[j])a.base[i]^=b.base[j];
    else {
    
    b.base[j]=a.base[i];break;}
    return b;
}
void build(int v,int le,int ri)
{
    
    
    if(le==ri){
    
    for(int i=30;i>=0;--i)if(que[le]&(1<<i)){
    
    tree[v].base[i]=que[le];break;}return;}
    int mid=le+ri>>1;
    build(ls,le,mid);build(rs,mid+1,ri);
    tree[v]=up(tree[ls],tree[rs]);
}
void modify(int v,int le,int ri,int x,int val)
{
    
    
    if(le==ri)
    {
    
    
        memset(tree[v].base,0,sizeof(tree[v].base));
        for(int i=30;i>=0;--i)if(val&(1<<i)){
    
    tree[v].base[i]=val;break;}
        return;
    }
    int mid=le+ri>>1;
    if(x<=mid)modify(ls,le,mid,x,val);
    else modify(rs,mid+1,ri,x,val);
    tree[v]=up(tree[ls],tree[rs]);
}
node ask(int v,int le,int ri,int ll,int rr)
{
    
    
    if(ll<=le&&ri<=rr)return tree[v];
    int mid=le+ri>>1;
    node r;memset(r.base,0,sizeof(r.base));
    if(ll<=mid)r=ask(ls,le,mid,ll,rr);
    if(mid<rr)r=up(r,ask(rs,mid+1,ri,ll,rr));
    return r;
}
void in()
{
    
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,a=0,b;i<=n;++i)scanf("%d",&b),xadd(i,que[i]=a^b),a=b;
}
void ac()
{
    
    
    build(1,1,n);
    node b;
    for(int op,l,r,v,a;m--;)
    {
    
    
        scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&v);
        if(op-1)
        {
    
    
            b=ask(1,1,n,l+1,r);
            a=xask(l);
            for(int i=30;i>=0;--i)
            if(a&(1<<i))
            if(b.base[i])a^=b.base[i];
            else {
    
    b.base[i]=a;break;}
            for(int i=30;i>=0;--i)v=max(v,v^b.base[i]);
            printf("%d\n",v);
        }
        else xadd(l,v),xadd(r+1,v),modify(1,1,n,l,que[l]^=v),modify(1,1,n,r+1,que[r+1]^=v);
    }
}
int main()
{
    
    
    in(),ac();
    system("pause");
}

Luogu5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017