2020上海ICPC现场赛L Traveling in the Grid World

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/9925/L

首先gcd(n,m)==1的话，那么肯定是两点之间线段最短

然后如果不为1，那么gcd(n-1,m),gcd(n,m-1)一定有一个是1，虽然我不会证，但是想象一下gcd>1，那么一个-1，必定导致不能被那个gcd整除了，就算一个-1可以，另一个-1gcd一定不行，这个结论我数学队友也找不出反例

那么我们就可以得到一个初值作为答案，我们发现这个初值已经够小了，所以我们猜想，最小值一定是只拐弯一次，而且拐点一定在对角线附近

然后我们枚举横坐标的每一个最接近对角线的点，如果恰好是整点，我们只询问上面一个点和右边一个点，因为下面和左边在(n-x,m-y)处的上和右是对称情况的相同值

如果不是整点，那么就看对角线恰好两边的就行了，取一个最小值

本题有点卡常，一开始我想找对角线上周围一圈点，tle了，然后只找两个点才过

具体的证明wls的题解我半天也没想通。。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double eps=1e-10;
const double one=1.0;

int n,m;double ans;
double dp[110][110];
int tx[5]={0,1,0};
int ty[5]={0,0,1};

inline void prework()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
}

inline double qry(int x,int y)
{
	double ret=1e9;
	if(x<0 || x>n || y<0 || y>m || __gcd(x,y)>1 || __gcd(n-x,m-y)>1)
		return ret;
	if(1ll*(0-x)*(y-m)==1ll*(x-n)*(0-y))
		return ret;
	return sqrt(one*x*x+one*y*y)+sqrt(one*(n-x)*(n-x)+one*(m-y)*(m-y));
}

inline void mainwork()
{
	if(__gcd(n,m)==1)
	{
		ans=sqrt(one*n*n+one*m*m);
		return;
	}
	ans=1e9;qry(n,m-1);qry(n-1,m);
	for(int i=1;i<=n-1;++i)
	{
		int y=1ll*m*i/n;
		if(1ll*m*i%n==0)
		{
			ans=min(ans,qry(i,y+1));
			ans=min(ans,qry(i+1,y));
		}
		if(1ll*m*i%n!=0)
		{
			ans=min(ans,qry(i,y));
			ans=min(ans,qry(i,y+1));
		}
	}
}

inline void print()
{
	double d=ans;
	printf("%.15f\n",d);
	//dp[n][m]=ans;
}

int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		prework();
		mainwork();
		print();
	}
	return 0;
}