杭电多校第一场Leading Robots(数形结合思想)

机器人传送门
嗯…第一次完全靠自己写了一波斜率维护。。。原理不是很难，但是第一次写还是有点憨批。
首先你要处理出一个点集，这些点满足这样的条件：
任意两点得$p$不相同,并且取每个位置得最大$a$.
只有这些点才有可能对答案产生贡献。
然后还有一个注意点：就是如果对于一个位置p,如果有多个最大值a,那么这点显然产生不了贡献,但还是要做为运算过程中的一个点。
根据等式$a_i{t}^2/2+p_i=a_j{t}^2/2+p_j$
任意两点之间得相遇时间为$t^2=|\frac{p_i-p_j}{a_i-a_j}|$
现在采用数形结合思想：
令$(a_i,p_i)$为二维坐标系上的点。
则这个相遇时间就被赋予了几何意义
即两点之间的斜率的绝对值
如果一个点要对答案产生贡献，对于位置p,显然它首先不能有多个$Max(a)$
并且对于任意$p_i<p_j$和$p_i>p_k$,都满足$Max(t_{ij})<Min(t_{ik})$
接下来要做的事就是维护一个凸包了，对于Max,维护斜率绝对值递增的折线段，对于Min,维护斜率绝对值递减的折线段。
具体维护看代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAXN 100050
struct node{
    
    
    ll v;
    ll p;
    bool operator<(const node&ano)
    {
    
    
        if(p==ano.p)
            return v<ano.v;
        return p>ano.p;
    }
}a[MAXN];
int b[MAXN];
double cal(int i,int j)
{
    
    
    return double(a[i].p-a[j].p)/double(-a[i].v+a[j].v);
}
int q[MAXN];
int mn[MAXN];
int mx[MAXN];
int ban[MAXN];
int all=0;
int main()
{
    
    
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
    
    
        int n;
        scanf("%d",&n);
        all=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lld%lld",&a[i].p,&a[i].v);
        for(int i=1;i<=n;i++)ban[i]=0;
        sort(a+1,a+1+n);
        int cmp=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
    
    
            while(i+1<=n&&a[i+1].p==a[i].p)
                i++;
            if(a[i].v>cmp)
            {
    
    
                cmp=a[i].v; b[++all]=i;
                if(a[i-1].p==a[i].p&&a[i-1].v==a[i].v)ban[all]=1;
            }
        }
        int l=1;
        int r=0;
        q[++r]=b[all];
        for(int i=all-1;i>=2;i--)
        {
    
    
            //keep small
            while(r-l>=1&&cal(b[i],q[r])>=cal(b[i],q[r-1]))r--;
            mn[i]=q[r];
            q[++r]=b[i];
        }
        l=1;
        r=0;
        q[++r]=b[1];
        for(int i=2;i<=all-1;i++)
        {
    
    
            //keep big
            while(r-l>=1&&cal(q[r],b[i])<=cal(q[r-1],b[i]))r--;
            mx[i]=q[r];
            q[++r]=b[i];
        }
        int ans=0;
        if(ban[1]==0)ans++;
        if(all>1&&ban[all]==0)ans++;
        for(int i=2;i<all;i++)
        {
    
    
            if(ban[i]==0&&cal(b[i],mn[i])>cal(mx[i],b[i]))
                ans++;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}