04 不同路径 （leecode 62）

1 问题

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

向右 -> 向右 -> 向下
向右 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向右

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

2 解法

动规五部曲:
（1）确定dp数组以及下标含义
dp[i][j]：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

（2）确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i][j]，
一个是dp[i-1][j]， 一个是dp[i][j-1]
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] ;

（3）dp数组如何初始化
dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

（4）确定遍历顺序
从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];中可以看出，遍历顺序一定是从左往右遍历的。

（5）举例推导dp数组

class Solution {
    
    
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
    
    
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        //初始化dp
        for(int i = 0; i < m; i++)
            dp[i][0] = 1;
        for(int j = 0; j < n; j++)
            dp[0][j] = 1;
        for(int i = 1; i < m; i++)
        {
    
    
            for(int j = 1; j < n; j++)
            {
    
    
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

时间复杂度：O(m * n)
空间复杂度：O(m * n)