要求：利用所学的生成素数的算法，生成两个尽可能的素数，进一步实现RSA的加密算法。
a)简介
RSA公钥算法由 MIT 的Rivest, Shamir和Adleman在I978年提出来的。是被最广泛接受并实现的通用公钥密码算法，已成为公钥密码的国际标准。该算法的数学基础是初等数论中的欧拉定理，其安全性基于大整数因子分解的困难性。
b)算法流程
1）密钥的生成
1. 选择两个大素数 p和q,（p≠q，需要保密）
2. 计算n=p×q， j(n)=(p－1)×(q－1)
3. 选择整数 e 使 (j(n)，e) =1, 1<e< j(n)
4. 计算d，使d=e－1 mod j(n),
得到：公钥为{e, n}； 私钥为{d}
2）加密(用e，n)： 明文M<n， 密文C=M^e (mod n).
3）解密(用d，n)： 密文C， 明文M =C^d (mod n)
c)算法实现
扩展欧几里得：
图4.1 扩展欧几里得
求模逆：
图4.2 求模逆
快速幂：
图4.3 快速幂
素数检验：
图4.4 素数检验
素数获取：
图4.5 素数获取
参数获取：
图4.6 参数获取
d)算法验证
因找不到相应格式的在线网站，直接验证能否顺利加解密（生成钥匙最大长度大于1200）：
图4.7 RSA验证
e)算法破解
共模攻击： 在实现RSA的时候，有时为了方便，在共享同一消息的时候，会让多个用户使用相同的模数n，但公、私钥对不同。而这种做法是不安全的。设两个用户的公开密钥为e1和e2，且e1和e2互素，明文消息m，密文分别为c1≡me1(mod n)，c2≡me2(mod n)。攻击者截获c1和c2之后，用拓展欧几里得算法求出满足re1+se2=1的两个整数r和s，由此可得c1rc2s≡mre1mse2≡mre1+se2≡m(mod n)，即获取明文。
低加密指数攻击： 为了增强加密的高效性，使用较小的加密密钥e，但将消息发送给多个实体时，出现很大问题。当e=3的时候，如果明文也较小，会使得明文的三次方仍然小于n，当将多个消息通过不同模数产生密文时，可以通过中国剩余定理来求出m3对多个模数乘积的取余结果，又m3小于模数乘积，对m3直接开立方，就可以得到结果。
循环攻击： 当攻击者截获密文之后，可以对密文进行循环加密，将每次加密结果和密文进行对比，如果有哪一次的加密结果和密文相同，说明上一次的加密结果即为明文。这种攻击只有在循环加密密文，再次得到原始密文的次数比较小的时候，才是可行的。为了抵抗这种攻击，应当通过p和q的选择，使得p-1和q-1都有较大的素因子。
为了防范这些攻击，首先应当使得密钥长度足够大，NIST建议，若保密期限超过2015年，则建议至少使用2048比特长密钥。同时，p和q的选取应当满足以下几点要求：
1）p和q的长度相差不能太大。2）p和q的差值不应该太小。
3）p-1和q-1的公因数应尽可能小。4）p-1和q-1都应该有大的素数因子。
f)算法分析
安全性主要依赖于大整数因数分解的难题，试图分解模数 n的素因子是攻击RSA最直接的方法。分解方法有试除法、p±1因子分解法、二次筛因子分解法、椭圆曲线因子分解法等。但由于因子分解的时间复杂性并没有降为多项式时间，因此，因子分解还是一个计算上的难题，只是在实际使用中，需要考虑使用较大的位数，以确保无法在短时间内被破解。
g)选择工具原因
python:简洁性和描述性，且集成了多种便于使用的数，大数使用较为灵活方便。
h)实现难点
如何在合理的时间内生成尽可能大的素数以供使用。