Voigt notation（Voigt标记法）和 Mandel notation（Mandel标记法）

1.什么是张量？

定义：满足某种坐标转换关系的有序数组成的集合称之为张量。

太抽象了不懂，没关系，这里也不涉及复杂的张量知识，了解即可。只需要知道下面几点就可以了。

零阶张量（标量）：如密度，温度，压力等；

一阶张量（矢量）：如速度，位移，加速度等；

二阶张量：如应力、应变等；

四阶张量：弹性刚度等；

张量的计算比较复杂，为了简化张量计算，需要将张量矩阵化。Voigt标记法和Mandel标记法就是两种张量矩阵化方法，主要在连续介质力学中应用。

2. Voigt notation

广义胡克定律

张量表示法： $\sigma =\mathbb{C}:\varepsilon$ ， $\sigma$ ， $\mathbb{C}$ ， $\varepsilon$ 分别是应力张量、弹性刚度张量、应变张量。

指标表示法： $\sigma _{ij}=\mathbb{C}_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

应力应变张量的Voigt矩阵表示为：

$\large \sigma _{ij}=\begin{bmatrix} \sigma _{11} & \sigma _{12} &\sigma _{13} \\ \sigma _{21}& \sigma _{22} &\sigma _{23} \\ \sigma _{31}& \sigma _{32} & \sigma _{33} \end{bmatrix}\overset{Voigt}{\rightarrow}\begin{Bmatrix} \sigma \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma _{11}\\ \sigma _{22}\\ \sigma _{33}\\ \sigma _{23}\\ \sigma _{31}\\ \sigma _{12} \end{bmatrix}$ ， $\large \varepsilon _{ij}=\begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} &\varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21}& \varepsilon_{22} &\varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31}& \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix}\overset{Voigt}{\rightarrow}\begin{Bmatrix} \varepsilon\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ \varepsilon_{33}\\ 2\varepsilon_{23}\\ 2\varepsilon_{31}\\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}$

从张量到矩阵的指标转换对应规则如下

所以广义胡克定律的矩阵表达如下：

采用Voigt标记法弹性刚度张量分量进一步表示为：

3. Mandel notation

应力应变Mandel矩阵表示为

$\large \sigma _{ij}=\begin{bmatrix} \sigma _{11} & \sigma _{12} &\sigma _{13} \\ \sigma _{21}& \sigma _{22} &\sigma _{23} \\ \sigma _{31}& \sigma _{32} & \sigma _{33} \end{bmatrix}\overset{Mandel}{\rightarrow}\begin{Bmatrix} \sigma \end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} \sigma _{11}\\ \sigma _{22}\\ \sigma _{33}\\ \sqrt{2}\sigma _{23}\\ \sqrt{2}\sigma _{31}\\ \sqrt{2}\sigma _{12} \end{bmatrix}$ ， $\large \varepsilon _{ij}=\begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} &\varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21}& \varepsilon_{22} &\varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31}& \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix}\overset{Mandel}{\rightarrow}\begin{Bmatrix} \varepsilon\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ \varepsilon_{33}\\ \sqrt{2}\varepsilon_{23}\\ \sqrt{2}\varepsilon_{31}\\ \sqrt{2}\varepsilon_{12} \end{bmatrix}$

所以广义胡克定律的矩阵表达如下：

弹性刚度张量的Mandel表示如下：

参考文献：

1.Notes on Continuum Mechanics by Eduardo W. V. Chaves

2.https://en.wikipedia.org/wiki/Voigt_notation#Mandel_notation