问题描述
给定一个由0和1组成的2维矩阵，返回该矩阵中最大的由1组成的正方形的面积
示例
示例1
输入
[[1,0,1,0,0],[1,0,1,1,1],[1,1,1,1,1],[1,0,0,1,0]]
输出
4
解决思路
思路
- 暴力法：暴力求解，当碰到1，则以当前坐标为左上节点，预估以该左上节点所组成的正方的最大长度，依次判断每个坐标值是否为1
- 动态规划：使用额外的dp数组记录以该节点为右下角节点的最大长度
（1）如果该位置的值是 00，则 dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 1 组成的正方形中；
（2）如果该位置的值是 11，则 dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp 值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 11，状态转移方程如下：
dp(i, j)=min(dp(i−1, j), dp(i−1, j−1), dp(i, j−1))+1
dp的计算：
代码实现
思路1:暴力求解
// 思路1：暴力求解
public class Solution {
public int maximalSquare(char[][] matrix) {
int maxSide = 0;
if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
return maxSide;
}
int rows = matrix.length, columns = matrix[0].length;
for (int i = 0; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < columns; j++) {
if (matrix[i][j] == '1') {
// 遇到一个 1 作为正方形的左上角
maxSide = Math.max(maxSide, 1);
// 计算可能的最大正方形边长
int currentMaxSide = Math.min(rows - i, columns - j);
for (int k = 1; k < currentMaxSide; k++) {
// 判断新增的一行一列是否均为 1
boolean flag = true;
// 判断斜对角线是否为0，为0直接跳出循环
if (matrix[i + k][j + k] == '0') {
break;
}
for (int m = 0; m < k; m++) {
// 判断除了斜对角线意外的元素是否为0
if (matrix[i + k][j + m] == '0' || matrix[i + m][j + k] == '0') {
flag = false;
break;
}
}
if (flag) {
// 获取最大边
maxSide = Math.max(maxSide, k + 1);
} else {
break;
}
}
}
}
}
int maxSquare = maxSide * maxSide;
return maxSquare;
}
}
时间复杂度分析：
O(mn * min(m,n)^2)：
（1）需要遍历整个矩阵寻找每个 1，遍历矩阵的时间复杂度是 O(mn)。
（2）对于每个可能的正方形，其边长不超过 m 和 n 中的最小值，需要遍历该正方形中的每个元素判断是不是只包含 1，遍历正方形时间复杂度是 O(min(m,n)^2)
空间复杂度分析：
O(1)：没有使用额外的空间。
思路2:动态规划
// 思路2:动态规划
public class Solution {
public int maximalSquare(char[][] matrix) {
int maxSide = 0;
if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
return maxSide;
}
int rows = matrix.length, columns = matrix[0].length;
int[][] dp = new int[rows][columns];
for (int i = 0; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < columns; j++) {
if (matrix[i][j] == '1') {
if (i == 0 || j == 0) {
dp[i][j] = 1;
} else {
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i][j - 1]) + 1;
maxSide = Math.max(maxSide, dp[i][j]);
}
}
}
}
int maxSquare = maxSide * maxSide;
return maxSquare;
}
}
时间复杂度分析：
O(mn)：遍历二维数组
空间复杂度分析：
O(mn)：使用了额外的dp数组。
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