【LeetCode】343. 整数拆分 Integer Break(C++)

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题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break

题目描述

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

题目大意

• 经典动态规划题
• 动态规划的五步骤：
  • 确定dp数组和下标含义：dp[i]代表n为i的乘积最大化的值
  • 确定递推公式：
    $$dp[i]=\{\begin{array}{c}max(j\ast (i-j),j\ast dp[i-j])\end{array}$$
• 继续
  • 如何定义和初始化dp数组
    • dp[0]和dp[1]为0表示n为这两个数时不可分割
  • 确定遍历顺序
    • i可以直接从下标2开始遍历(i∈[2,n])，j从1开始遍历到i，j∈[1,i)
  • 举例推导dp数组

动态规划

• 通过j的遍历，我们不断更新n=i时，得到所进行所有分割方法后得出乘积的最大值，然后更新到dp[i]上即可，最终输出dp[n]

class Solution {
    
    
public:
    int integerBreak(int n) {
    
    
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        for(int i = 2 ; i <= n; ++i){
    
    
            int maxCount = 0;
            for(int j = 1 ; j < i ; ++j){
    
    
                maxCount = max(maxCount, max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
            dp[i] = maxCount;
        }
        return dp[n];
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)。n为数组的长度
• 空间复杂度：O(n)。n为数组的长度