【ACWing】327. 玉米田

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/329/

农夫约翰的土地由$M\times N$个小方格组成，现在他要在土地里种植玉米。非常遗憾，部分土地是不育的，无法种植。而且，相邻的土地不能同时种植玉米，也就是说种植玉米的所有方格之间都不会有公共边缘。现在给定土地的大小，请你求出共有多少种种植方法。土地上什么都不种也算一种方法。

输入格式：
第$1$行包含两个整数$M$和$N$。第$2,...,M+1$行：每行包含$N$个整数$0$或$1$，用来描述整个土地的状况，$1$表示该块土地肥沃，$0$表示该块土地不育。

输出格式：
输出总种植方法对$10^8$取模后的值。

数据范围：
$1\le M,N\le 12$

思路是动态规划，可以按行枚举，并且用状态压缩的方式存每行的玉米种植状态。比如，我们可以用一个整数的二进制位来枚举每个位置是否种玉米，$1$表示种，$0$表示不种。此外，如果同时用一个数组$A$的第$i$个数的二进制位来存第$i$行的土地情况，$1$表示不能种，$0$表示能种，那么第$i$行的有效状态就是那些与$A[i]$做与运算等于$0$的且不与第$i-1$行矛盾的状态。设$f[i][s]$是第$i$行的种植状态是$s$的情况下，有多少种种植方案。那么可以按照第$i-1$行的种植状态来分类，则有：$$f[i][s]=\sum _{(t\to s)\wedge (s\&A[i]=0)}f[i-1][t]$$初始条件$f[0][0]=1$。代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 15, M = 1 << 12, mod = 1e8;
int n, m;
int a[N], f[N][M];
// state存每行的合法状态（即没有两个连续的1的状态），
// head存state[i]能转移到的合法状态（即没有矛盾的状态）
vector<int> state, head[M];

bool check(int st) {
    
    
    for (int i = 0; i < n - 1; i++)
        if ((st >> i & 1) && (st >> i + 1 & 1))
            return false;
    return true;
}

int main() {
    
    
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) {
    
    
            int s;
            cin >> s;
            a[i] += !s << j;
        }

    for (int i = 0; i < 1 << n; i++)
        if (check(i))
            state.push_back(i);

    for (int i = 0; i < state.size(); i++)
        for (int j = 0; j < state.size(); j++) {
    
    
            int a = state[i], b = state[j];
            if (!(a & b)) head[i].push_back(j);
        }

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int cur = 0; cur < state.size(); cur++)
            for (int prev : head[cur])
                if (!(state[cur] & a[i]))
                    f[i][cur] = (f[i][cur] + f[i - 1][prev]) % mod;
    
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < state.size(); i++) res = (res + f[m][i]) % mod;

    cout << res << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(m{2}^{2n})$，实际并没有这么高，因为行合法的状态是远小于$2^n$的，空间$O(m{2}^n)$。