Educational Codeforces Round 106 (Rated for Div. 2) D. The Number of Pairs 数论gcd

传送门

题意：

给三个数$c,d,x$，求满足$c\ast lcm(a,b)-d\ast gcd(a,b)=x$条件的$(a,b)$的数量。

思路：

考虑将$lcm(a,b)$表示成$k\ast gcd(a,b)$，随后将式子化简$(c\ast k-d)\ast gcd(a,b)=x$，现在我们只需要求$x$的因子，之后让一个因子$\frac{x}{z}$等于$gcd(a,b)$，$z$等于$(c\ast k-d)$即可。因为$c,d$都知道了，那么容易得出$k=\frac{d+z}{c}$，当然前提是$(d+z)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=0$。$gcd(a,b)$已知，$lcm(a,b)=k\ast gcd(a,b)$，只需要求出满足$lcm(a,b)$和$gcd(a,b)$的$(a,b)$对数即可。
我们将$a,b$都除$gcd(a,b)$，那么$gcd(a^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }})=1$,$lcm(a^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }})=\frac{lcm(a,b)}{gcd(a,b)}=a^{{}^{\prime }}\ast b^{{}^{\prime }}$，我们对$a^{{}^{\prime }}\ast b^{{}^{\prime }}$进行质因子分解，得到$a^{{}^{\prime }}\ast b^{{}^{\prime }}=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}...p_n^{k_n}$，也就相当于从质因子中找出来一些分给$a^{{}^{\prime }}$和$b^{{}^{\prime }}$，又因为$gcd(a^{{}^{\prime }},b^{{}^{\prime }})=1$，所以他们不能有相等的质因子，所以一个质因子只能给一个数。假设有$cnt$个质因子，那么组合就有$2^{cnt}$种组合。这样问题就解决啦。

之前代码t掉啦，改成线性筛就好了。

//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;

//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;

const int N=20000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;

LL ans=0;
int c,d,x;
int st[N],nt[N];
int mp[N];
int prime[N],cnt;
vector<int>v;

void solve(int y)
{
    
    
    if((y+d)%c!=0) return;
    LL k=(y+d)/c;
    int cnt=0;
    while(k!=1)
    {
    
    
        int x=nt[k]; cnt++;
        while(k%x==0) k/=x;
    }
    ans+=(1<<cnt);
}

int main()
{
    
    
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);

    for(int i=2;i<N;i++)
    {
    
    
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i,nt[i]=i;
        for(int j=0;prime[j]<=N/i;j++)
        {
    
    
            st[prime[j]*i]=true;
            nt[prime[j]*i]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    int _; scanf("%d",&_);
    while(_--)
    {
    
    
        ans=0;
        scanf("%d%d%d",&c,&d,&x);
        vector<int>vv;
        for(int i=1;i<=x/i;i++)
            if(x%i==0)
            {
    
    
                int a=i,b=x/i;
                if(a!=b) vv.pb(a),vv.pb(b);
                else vv.pb(a);
            }
        for(int i=0;i<vv.size();i++) solve(vv[i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }




















	return 0;
}
/*

*/