DTOJ#5227. The Imp

传送门

你带着你自己挣得的一些金币来到了 Ye Olde 魔法商店，希望能买到一些有趣而不凡的魔法物品。商店里用特制的魔法盒子锁着 $n$ 个物品，第 $i$ 个箱子价格 $c_i$ 个金币，包含着价值 $v_i$ 个金币的物品。你知道并清楚的记得所有的 $c_i$ 和 $v_i$。

作为一个凡人，你最多只能携带一个魔法物品。因此你希望能得到最有价值的物品。你确实可以这么做，如果没有那个邪恶的魔法生物：小鬼的话。

小鬼可以使用一个魔法咒语，将魔法盒里的东西变成没有魔力和价值的灰尘。当然，它会在你已经购买了一个魔法盒子之后使用这个咒语，这样你就会付了钱却没得到东西。然后你就再买一个又一个…

小鬼的魔力足够他释放 $k$ 次咒语，它也可以选择不使用它，允许你拿着这个物品，你可以在任何时候空着手离开（尽管这将成为一个耻辱）。但是，如果你拿到了一个物品，你就必须拿着它离开。你希望最大化你的收益（你获得的物品的价值减去你所花的所有的钱），而小鬼希望它最小。如果你们俩都绝顶聪明并且使用最佳策略，你将会获得多少金币的收益？

输入的第一行包括一个正整数 $T$ 表示输入数据组数，每组数据的描述如下：

每组数据第一行有两个整数 $n,k$，含义如题面所示。

接下来的 $n$ 行描述物品的性质，第 $i$ 行包括两个整数 $v_i$ 和 $c_i$。

对于每一组数据，输出你所可能获得的最大收益。

样例输入

1
3 1
10 5
8 1
20 12

样例输出

7

对于 $100\%$ 的数据，有 $1\le n\le 150000,1\le k\le 9,0\le v_i,c_i\le 10^6$。

2014-2015 ACM-ICPC, Central Europe Regional Contest (CERC 14)

题解：
首先证明性质：
对于确定的答案集合 $ans[]$，$a<b$ 则 $v_a<v_b$。
证明：
考虑交换，即需满足 $min(v_b-c_b-v_a,0)+v_a-c_a>min(v_a-c_a-v_b,0)+v_b-c_b$
拆开 $min()$，即
①若 $v_b-c_b-v_a<0$ 且 $v_a-c_a-v_b<0$，原式为 $v_b-c_b-c_a>v_a-c_a-c_b$。当 $v_b-c_b<v_a<v_b$ 时，显然成立。所以 $v_a<v_b$。
②若 $v_b-c_b-v_a>0$ 且 $v_a-c_a-v_b<0$，原式为 $v_a-c_a>v_a-c_a-c_b$ 恒成立。而条件可推得 $v_a<v_b-c_b$。所以 $v_a<v_b$
③若 $v_b-c_b-v_a<0$ 且 $v_a-c_a-v_b>0$，原式为 $v_b-c_a-c_b>v_b-c_b$ 即 $c_a<0$ 恒不成立。当 $v_a<v_b$ 时，条件显然不成立，所以不可能出现。
④若 $v_b-c_b-v_a>0$ 且 $v_a-c_a-v_b>0$，原式为 $v_a-c_a>v_b-c_b$。但是相加条件，为 $c_b+c_a<0$ 恒不成立。所以此情况不可能出现。
证毕。
于是我们把数按 $v$ 递增排序，然后采用博弈 $DP$。
记 $f[i][j]$ 表示 后 $i$ 个数，还剩 $j$ 次操作的答案。
转移为 $f[i][j]=max(f[i+1][j],min(f[i+1][j-1]-c_i,v_i-c_i))$
即不取，前面取过了和开始取。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 150005
typedef long long ll;	
using namespace std;
inline ll read() {
    
    
	char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	ll sum=ch^48;
	while(isdigit(ch=getchar()))sum=(sum<<1)+(sum<<3)+(ch^48);
	return sum;
}
struct node{
    
    
	ll v,c;
}a[N];
bool cmp(node x,node y){
    
    return x.v<y.v;}
ll f[N][10];
int main(){
    
    
	int T=read();
	while(T--){
    
    
		int n=read(),k=read();
		for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
			a[i].v=read(),a[i].c=read();
		}
		sort(a+1,a+1+n,cmp);
		for(int j=0;j<=k;++j)f[n+1][j]=0;
		for(int i=n;i;--i){
    
    
			f[i][0]=max(f[i+1][0],a[i].v-a[i].c);
			for(int j=1;j<=k;++j){
    
    
				f[i][j]=max(f[i+1][j],min(a[i].v-a[i].c,f[i+1][j-1]-a[i].c));
			}
		}
		printf("%lld\n",f[1][k]);
	}
	return 0;
}