DTOJ#5192. 抱歉，今天不行

传送门

题目背景

这天又是一场模拟赛。作为机房栋梁的可爱妹子，Wu_Mr 再次 AK 了。而她的好姬友，108oahnew 却直接暴毙。

“咋做嘛，咋做嘛。”108oahnew 向 Wu_Mr 询问这些题的解法。

“我告诉你，但是你晚上得和我搞姬，这一切值得吗？” Wu_Mr 阴阳怪气。

“这……可是……可是……”108oahnew 脸渐渐泛出红色，“倒也不是不行……”

“？？！”看着眼前的 108oahnew，Wu_Mr 有些吃惊，“那，我就给你讲吧。不过今天晚上不行，我要去补考上周的模拟赛，明天吧。不能忘了哦。”说完，她就把 108oahnew 拉到白板前面开始讲题。

在晚上去补考之前，Wu_Mr 怕 108oahnew 太寂寞，就给了她一道练习题。

题目描述

给定一棵 $n$ 个节点的树，每个点有一个点权。有 $q$ 次操作，每次操作为修改某个点 $x$ 的点权为 $v$ ，称为修改操作（修改操作是永久的）。

你每次可以选择一个点权均大于 $0$ 的连通块，使这个连通块的每个点权都减一，称为一次删减操作（删除操作对于每次修改操作独立）。

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你需要在每次修改操作后，输出使得所有点权全部变为 $0$ 最少需要的删减操作次数。
第一行两个数 $n$ 和 $q$ ，表示节点数和修改操作数。

接下来一行 $n$ 个正整数，第 $i$ 个表示编号为 $i$ 的点的点权。

接下来 $n - 1$ 行，每行两个数 $u, v$ 表示这两个点之间有一条边。

接下来 $q$ 行，每行两个数 $x, v$ ，表示这次修改操作是把 $x$ 点的点权改为 $v$ 。

对于每个询问，输出一行一个整数表示最少的删减操作次数。

样例输入 1

样例输出 1

样例输入 2

10 5
39 24 1 16 13 31 90 69 7 34
1 2
1 3
1 4
4 5
4 6
6 7
1 8
6 9
6 10
2 96
4 95
8 40
9 26
6 97

样例输出 2

样例解释 1

你可以先选择整颗树进行删减操作，再选择 $1$ 号节点进行删减操作。

对于 $\%$ 的数据， $\leq 10,a_i \leq 3,q=1$ 。

对于 $\%$ 的数据， $\leq 1000$ 。

对于另外 $\%$ 的数据，保证输入的树是一条从 $1$ 到 $n$ 的链。

对于 $\%$ 的数据， $\leq 10^5, 1 \leq a_i \leq 10^7, 1 \leq x \leq n, 1 \leq v \leq 10^7$ 。 $x$ 和 $v$ 的含义如题面描述。

首先，第一眼想到的是以前做过的一道CCJ的城市
但如果按原本的思路，容易想到 $O(n\sqrt nlogn)$ ，即对于修改分块：
度数大于 $\sqrt n$ 的点查询时再修改，度数小于 $\sqrt n$ 的点直接修改。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
typedef long long ll;
using namespace std;
int read(){
    
    
	int op=1,sum=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {
    
    if(ch=='-') op=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return op*sum;
}
vector<ll> c[N];
int d[N];
int tot,head[N],ver[N<<1],nex[N<<1];
inline void add(int x,int y){
    
    
	nex[++tot]=head[x];head[x]=tot;ver[tot]=y;
	d[y]++;
}
struct node{
    
    
	int id,c,t;
}ask[N];
int fa[N],sqr;
ll ans,a[N];
vector<ll> t1[N],t2[N];
int len[N];
inline int lowbit(int x){
    
    return x&(-x);}
inline ll get1(int x,int num){
    
    
	ll now=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))now+=t1[num][x];
	return now;
}
inline void add1(int x,ll val,int num){
    
    
	if(!x)return ;
	for(;x<=len[num];x+=lowbit(x))t1[num][x]+=val;
}
inline ll get2(int x,int num){
    
    
	ll now=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))now+=t2[num][x];
	return now;
}
inline void add2(int x,ll val,int num){
    
    
	for(;x<=len[num];x+=lowbit(x))t2[num][x]+=val;
}
vector<int> cl[N],to[N];
inline int pos(int col,int num){
    
    
	return lower_bound(cl[num].begin(),cl[num].end(),col)-cl[num].begin();
}
struct Pre{
    
    
	int a,id;
}Pr[N];
bool cmp(Pre x,Pre y){
    
    return x.a>y.a;}
int b[N];
inline ll work(int x,ll c){
    
    
	int mid=pos(c,x);
	ll les=get2(mid-1,x),gra=(c)*(get1(len[x],x)-get1(mid-1,x));
	for(int i=0;i<to[x].size();++i){
    
    
		ll tc=a[to[x][i]];
		if(tc<c)les+=tc;
		else gra+=(c);
	}
	return les+gra;
}
inline void ch(int x,ll c){
    
    

	if(d[x]>sqr){
    
    a[x]=c;return ;}
	for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
    
    
		int y=ver[i];
		int to=pos(a[x],y);
		add1(to,-1,y);add2(to,-a[x],y);
		to=pos(c,y);
		add1(to,1,y);add2(to,c,y);
	}
	a[x]=c;
}
int main(){
    
    
//	freopen("sorry.in","r",stdin);
//	freopen("sorry.out","w",stdout);
	int n=read(),q=read();
	sqr=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
		a[i]=read();
		ans=ans+a[i];
		c[i].push_back(a[i]);
		fa[i]=i;
		Pr[i].a=a[i];Pr[i].id=i; 
	}
	for(int i=1;i<n;++i){
    
    
		int u=read(),v=read();
		add(u,v);add(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=q;++i){
    
    
	    ask[i].id=read(),ask[i].c=read(),ask[i].t=i;
	    c[ask[i].id].push_back(ask[i].c);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
		cl[i].push_back(0);
		t1[i].push_back(0);
		t2[i].push_back(0);
		for(int j=head[i];j;j=nex[j]){
    
    
			int y=ver[j];
			if(d[y]<=sqr){
    
    
				for(int k=0;k<c[y].size();++k){
    
    
					cl[i].push_back(c[y][k]);
				}
			}else{
    
    
				to[i].push_back(y);
			}
		}
		sort(cl[i].begin(),cl[i].end());
		cl[i].erase(unique(cl[i].begin(),cl[i].end()),cl[i].end());
		len[i]=cl[i].size();
		--len[i];
		for(int j=1;j<=len[i];++j){
    
    t1[i].push_back(0);t2[i].push_back(0);}
		for(int j=head[i];j;j=nex[j]){
    
    
			int y=ver[j];
			if(d[y]<=sqr){
    
    
				add1(pos(a[y],i),1,i);
				add2(pos(a[y],i),a[y],i);
			}
		}
	}
	sort(Pr+1,Pr+1+n,cmp);
	ll cnt=0;
	Pr[n+1].a=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
		int x=Pr[i].id;b[x]=1;
		for(int j=head[x];j;j=nex[j]){
    
    
			int y=ver[j];
			if(b[y])cnt++;
		}
		ans-=cnt*(Pr[i].a-Pr[i+1].a);
	}
	for(int i=1;i<=q;++i){
    
    
		int x=ask[i].id;ll C=ask[i].c;
		ans+=work(x,a[x]);
		ans-=work(x,C);
		ans+=C-a[x];
		ch(x,C);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;

换一种思路，以为树上联通块很好算，所以直接考虑贪心。维护一块已经处理完的，每次把儿子丢进去，那么增加的就是 $m a x (a [x] - a [f a [x]], 0)$ 。
这样就很好修改了。
维护方法一种是在线线段树动态开点： $O (n l o g n)$
@ $c c j$

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int INF=1e7;
int n,q,a[100002],fa[100002],rt[100002],cnt;
long long ans;
vector<int>g[100002],t[100002];
typedef struct{
    
    
	int ls,rs,siz;
	long long sum;
}P;
P p[10000002];
void gengxin(int root,int begin,int end,int wz,int z){
    
    
	if (begin==end)
	{
    
    
		p[root].siz+=z;p[root].sum=(long long)begin*p[root].siz;
		return;
	}
	int mid=(begin+end)/2;
	if (wz<=mid)
	{
    
    
		if (!p[root].ls)p[root].ls=++cnt;
		gengxin(p[root].ls,begin,mid,wz,z);
	}
	else
	{
    
    
		if (!p[root].rs)p[root].rs=++cnt;
		gengxin(p[root].rs,mid+1,end,wz,z);
	}
	p[root].sum=(p[p[root].ls].sum+p[p[root].rs].sum);
	p[root].siz=(p[p[root].ls].siz+p[p[root].rs].siz);
}
long long cxsum(int root,int begin,int end,int begin2,int end2){
    
    
	if (begin>end2 || end<begin2 || !root)return 0;
	if (begin>=begin2 && end<=end2)return p[root].sum;
	int mid=(begin+end)/2;
	return cxsum(p[root].ls,begin,mid,begin2,end2)+cxsum(p[root].rs,mid+1,end,begin2,end2);
}
long long cxsiz(int root,int begin,int end,int begin2,int end2){
    
    
	if (begin>end2 || end<begin2 || !root)return 0;
	if (begin>=begin2 && end<=end2)return p[root].siz;
	int mid=(begin+end)/2;
	return cxsiz(p[root].ls,begin,mid,begin2,end2)+cxsiz(p[root].rs,mid+1,end,begin2,end2);
}
void dfs(int x,int y){
    
    
	fa[x]=y;rt[x]=++cnt;
	for (int i=0;i<g[x].size();i++)
	if (g[x][i]!=y)
	{
    
    
		t[x].push_back(g[x][i]);dfs(g[x][i],x);
	}
	for (int i=0;i<t[x].size();i++)gengxin(rt[x],1,INF,a[t[x][i]],1);
	ans+=cxsum(rt[x],1,INF,a[x],INF)-cxsiz(rt[x],1,INF,a[x],INF)*a[x];
}
int main()
{
    
    
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
    
    
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		g[u].push_back(v);g[v].push_back(u); 
	}
	dfs(1,0);
	while(q--)
	{
    
    
		int x,v;
		scanf("%d%d",&x,&v);
		ans-=cxsum(rt[x],1,INF,a[x],INF)-cxsiz(rt[x],1,INF,a[x],INF)*a[x];
		if (fa[x])
		{
    
    
			gengxin(rt[fa[x]],1,INF,a[x],-1);
			if (a[x]>a[fa[x]])ans-=a[x]-a[fa[x]];
		}
		a[x]=v;
		ans+=cxsum(rt[x],1,INF,a[x],INF)-cxsiz(rt[x],1,INF,a[x],INF)*a[x];
		if (fa[x])
		{
    
    
			gengxin(rt[fa[x]],1,INF,a[x],1);
			if (a[x]>a[fa[x]])ans+=a[x]-a[fa[x]];
		}
		printf("%lld\n",ans+a[1]);
	}
	return 0;
}

另一种是离线树状数组，直接把所有可能取值全部扔进树状数组： $O (n l o g n)$ 但常数小。

#include<bits/stdc++.h>
#define N  100005
typedef long long ll;
using namespace std;
inline int read(){
    
    
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
    
    if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){
    
    x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll a[N];
vector<ll> t1[N],t2[N],c[N];
int len[N];
inline int lowbit(int x){
    
    return x&(-x);}
inline void add1(int x,ll val,int num){
    
    
	for(;x<=len[num];x+=lowbit(x))t1[num][x]+=val;
}
inline ll ask1(int x,int num){
    
    
    ll now=0;
    for(;x;x-=lowbit(x))now+=t1[num][x];
    return now;
}
inline void add2(int x,ll val,int num){
    
    
	for(;x<=len[num];x+=lowbit(x))t2[num][x]+=val;
}
inline ll ask2(int x,int num){
    
    
    ll now=0;
    for(;x;x-=lowbit(x))now+=t2[num][x];
    return now;
}
vector<int> to[N];
int fa[N];
void dfs(int x,int las){
    
    
	for(int i=0;i<to[x].size();++i){
    
    
		int y=to[x][i];
		if(y==las)continue;
		fa[y]=x;
		dfs(y,x);
	}
}

struct node{
    
    
	int id,c;
}que[N];
ll ans;
inline ll work(int x,ll C){
    
    
	ll now=max(C-a[fa[x]],0ll);
	int pos=upper_bound(c[x].begin(),c[x].end(),C)-c[x].begin();
	now+=ask1(len[x],x)-ask1(pos-1,x)-(ask2(len[x],x)-ask2(pos-1,x))*C;
	return now;
}
int main(){
    
    
//	freopen("data.in","r",stdin);
//	freopen("sorry.out","w",stdout);
	int n=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),c[i].push_back(0);
	c[0].push_back(0);
	for(int i=1;i<n;++i){
    
    
		int x=read(),y=read();
		to[x].push_back(y);to[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=q;++i){
    
    
		que[i].id=read(),que[i].c=read();
		c[fa[que[i].id]].push_back(que[i].c);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
		c[fa[i]].push_back(a[i]);
	    ans+=max(a[i]-a[fa[i]],0ll);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
		sort(c[i].begin(),c[i].end());
		c[i].erase(unique(c[i].begin(),c[i].end()),c[i].end());
		len[i]=c[i].size()-1;
		for(int j=0;j<=len[i];++j)t1[i].push_back(0),t2[i].push_back(0);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
    
    
		int pos=lower_bound(c[fa[i]].begin(),c[fa[i]].end(),a[i])-c[fa[i]].begin();
		add1(pos,a[i],fa[i]);add2(pos,1,fa[i]);
	}
	for(int T=1;T<=q;++T){
    
    
		int x=que[T].id,C=que[T].c;
	    ans-=work(x,a[x]);
	    ans+=work(x,C);
	    int pos=lower_bound(c[fa[x]].begin(),c[fa[x]].end(),a[x])-c[fa[x]].begin();
	    add1(pos,-a[x],fa[x]);add2(pos,-1,fa[x]);
	    pos=lower_bound(c[fa[x]].begin(),c[fa[x]].end(),C)-c[fa[x]].begin();
	    add1(pos,C,fa[x]);add2(pos,1,fa[x]);
	    a[x]=C;
	    printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}