有一个 n × n n\times n n×n 的方阵，给它填上非负整数，定义一条路径的权值为其经过的所有格子的数字和。你需要找到一种填数方案，使得所有从 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 出发，只能向右向下走并在 ( n , n ) (n,n) (n,n) 结束的路径的权值互不相同且在 0 0 0 至 ( 2 n − 2 n − 1 ) − 1 \binom{2n-2}{n-1}-1 (n−12n−2)−1 之间。
一行一个数 n n n 表示方阵大小。
n n n 行，每行 n n n 个非负整数表示你构造的 n × n n\times n n×n 的方阵，或者一个数 − 1 -1 −1 表示无解。如果有多组解，输出任意一种即可。输出可以有前导 0，但是位数不要超过 60 位。
样例输入
3
样例输出
0 0 0
1 1 0
2 2 0
| 子任务编号 | n ≤ n\leq n≤ | 分值 |
|---|---|---|
| 1 1 1 | 3 3 3 | 10 10 10 |
| 2 2 2 | 5 5 5 | 20 20 20 |
| 3 3 3 | 30 30 30 | 50 50 50 |
| 4 4 4 | 100 100 100 | 20 20 20 |
ahsdfz noip2020模拟
题解：
根据样例可发现：
首先，发现我们可以求轮廓线的差值 a d [ i ] [ j ] ad[i][j] ad[i][j] 表示 n u m [ i + 1 ] [ j − 1 ] − n u m [ i ] [ j ] num[i+1][j-1]-num[i][j] num[i+1][j−1]−num[i][j]。前缀和 s u m [ i ] [ j ] sum[i][j] sum[i][j].
假设我们从小到大构造完 ( i , j ) (i,j) (i,j)，要构造 ( i + 1 , j + 1 ) (i+1,j+1) (i+1,j+1) ，这时我们发现子矩形的范围恰好为 0 0 0 到 s u m [ i − 1 ] [ j − 1 ] sum[i-1][j-1] sum[i−1][j−1]。而题目满足不重，所以 a d [ i ] [ j ] = s u m [ i − 1 ] [ j − 1 ] ad[i][j]=sum[i-1][j-1] ad[i][j]=sum[i−1][j−1]。这样就构造完了。
#include<bits/stdc++.h>
#define N 105
typedef long long ll;
using namespace std;
int n;
//ll num[N][N],ad[N][N],sum[N][N];
int read(){
int op=1,sum=0;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') {
if(ch=='-') op=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return op*sum;
}
struct node{
int str[N],len;
inline void init(){
memset(str,0,sizeof(str));
len=0;
}
inline void fu(){
memset(str,0,sizeof(str));
len=1;
str[1]=1;
}
}num[N][N],ad[N][N],sum[N][N],dan;
inline node add(node x,node y){
node now;now.init();
now.len=max(x.len,y.len);
for(int i=1;i<=now.len;++i){
now.str[i]=now.str[i]+x.str[i]+y.str[i];
now.str[i+1]=now.str[i]/10;
now.str[i]%=10;
}
if(now.str[now.len+1])now.len++;
return now;
}
inline node del(node x,node y){
for(int i=1;i<=x.len;++i){
if(x.str[i]<y.str[i]){
x.str[i]+=10,x.str[i+1]--;
}
x.str[i]-=y.str[i];
}
while(!x.str[x.len])--x.len;
return x;
}
inline void out(node x){
if(!x.len)printf("0");
for(int i=x.len;i;--i){
printf("%d",x.str[i]);
}
}
int main(){
/// freopen("path.in","r",stdin);
// freopen("path.out","w",stdout);
n=read();dan.fu();
for(int i=1;i<=n;++i)ad[1][i]=dan,ad[i][n]=dan;
ad[1][1].init();ad[n][n].init();
for(int i=0;i<=n;++i)sum[0][i].init(),sum[i][0].init(),num[1][i].init(),num[i][0].init();
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=n;++j){
if(j>1)ad[i][j]=add(sum[i-1][j-1],dan);
sum[i][j]=add(del(add(sum[i-1][j],sum[i][j-1]),sum[i-1][j-1]),ad[i][j]);
}
}
for(int i=2;i<=n;++i){
for(int j=1;j<n;++j){
num[i][j]=add(num[i-1][j+1],ad[i-1][j+1]);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=n;++j){
out(num[i][j]);printf(" ");
}
puts("");
}
return 0;
}