计算机夏令营面试知识点

1. 傅里叶级数和傅里叶变换

傅里叶级数是把周期函数拆成不同频率三角函数的 $\sum$ ，这些三角函数的频率展现在频谱上形成了离散的非周期函数。而傅里叶变换是针对时域非周期函数的，转变后成为频域的连续函数，这就是他是 $\int$ 号，而不是 $\sum$ 号的原因，因为他是频率连续的周期函数的叠加，而不是离散的周期函数的叠加。

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1636833728798493906&wfr=spider&for=pc

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

2.欧拉公式

这个公式如何得来？

把 $e^{ix}$ 和 isin（x）+cos(x)用泰勒公式展开，可以发现二者相等，其中e为如下

当令x=pi,那么公式化为：

i= $\sqrt{-1}$ , 我们知道1*-1=-1，实现从正数轴到负数轴的旋转，而1*-1=1* $\sqrt{-1}$ * $\sqrt{-1}$ ，这意味着这个旋转可以拆分为两个步骤，第一次旋转90度，第二次再旋转90度。数轴只有一条，那么选择90度旋转到哪了呢，这是就用到了虚数轴，整个构成了复平面。

3. 矩阵的秩

https://www.zhihu.com/question/21605094/answer/500813812

矩阵的秩是列向量张成的空间的维度。

下图的列向量为（1,1），（-1，-1），很明显秩为1，

这两个向量共线，形成一维空间，秩为1

不共线的向量形成二维空间，秩为2

多余的向量在空间中可以由其他向量表示，故无用，就像进行变换时得到的哪些0行一样，非0行有几个，秩就为几。

4. 矩阵取行列式

对一个矩阵取行列式，其值的含义是什么呢？

一个n*n的行列式，其值等于：取其每列的向量在n维空间中构成的平行体的容积（容纳点）。由于行列式转置值不变，即也等于由行向量构成的平行体的容积。

2*2：构成的平行四边形的容积，3*3：构成的平行六面体的容积。

5. 矩阵乘法

设A矩阵如下：

，将其改写为| i, j| ,i,j是其列向量。点p（a,b）表示成向量形式，Ap=ai+bj。这说明得到的新向量的基底变成 i 和 j。

| i, j| 中的向量i,j 是构成二维空间的一组基底。

r(AB)<=min(r(A),r(B))

6. 矩阵可逆

书上的充分必要条件：

AB=E；

A为满秩矩阵；

A的特征值全不为0；

A的行列式|A|≠0；

A等价于n阶单位矩阵；

A可表示成初等矩阵的乘积；

齐次线性方程组AX=0 仅有零解；

非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；

A的行（列）向量组线性无关；

任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示；

上述表达的东西都差不多，可逆可逆指的是可以变回来，若AB=C,那么我怎么把C变回B, 此时用到逆矩阵， $A^{-1}$ *C= $A^{-1}$ *A*B=E*B=B。这样就把A对B施加的变换全部进行了逆变换。A可逆意味着满秩，满秩意味着A的n列向量构成的空间维度是n维的，如果非满秩那么构成的空间就低于n维的，如果2阶矩阵A的秩为1，原来在二维空间中的一个面其每个点都乘以A,那么这些点就全部映射到了一条直线上，这条直线是A所构成的1维空间，这时无法找出一个 $A^{-1}$ 完成逆过程，因为矩阵乘法无法提高秩，小于等于乘数和被乘数的秩。