力扣 77 组合
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原题目
题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
考查知识点
回溯：可以参考回溯三步法【算法套路】-【回溯篇】【回溯三步法】
好的解法
这道题是参考【代码随想录】大佬的回溯算法：求组合问题！来写的心得体会。
首先我们按照 k 的取值不同来分析一下这道题，k=2时，先从[1,2,3,4]中随机选取一个数，这里假设选了 1 ，那么第二次选取数字的范围就缩小成了[2,3,4]， 同理，如果第一次随机选取了 2 ，那么第二次选取数字的范围就是[3,4]。注意这里之所以是[3,4]而不是[1,3,4]是因为这是个组合问题，并不是排列。
第一次选取范围 第一次选取 第二次选取范围 第二次选取 选取结果
[1,2,3,4] 1 [2,3,4] 2 1,2
[1,2,3,4] 1 [2,3,4] 3 1,3
[1,2,3,4] 1 [2,3,4] 4 1,4
[1,2,3,4] 2 [3,4] 3 2,3
[1,2,3,4] 2 [3,4] 4 2,4
[1,2,3,4] 3 [4] 4 3,4
很显然，k的取值就是选取数字的次数，如果使用for循环来解决这个问题的话，只有当k为常数的时候，才可以明确for循环会嵌套使用多少层。那么对于k是变量的情况，是不能用嵌套k层for循环来解决的，因为写不出来。
那么针对k层嵌套循环才能解决的问题，用什么来替代for循环呢？答案就是递归。在一个递归函数中写一个for循环，那么需要嵌套k层循环就变成了一个递归函数递归k次。
按照回溯三步法来考虑这个回溯问题：
1、函数参数和返回值：返回值一般为void；因为要把符合条件的结果存入数组，所以需要一个存放结果的集合vector<vector<int>> result，需要一个变量来记录每一个结果vector<int> path。又因为这是一个组合问题，每一次选取数字后，选取范围都要向后移动，所以需要一个开始下标startIndex表示选取范围的开始
2、终止条件：当path中数字的数量==k时，说明找到一个结果，此时将path存入result
3、单层处理逻辑：到了这里就说明上一步终止条件并没有被满足，那么就要从startIndex开始的范围内选取一个数字存入path，并且向下递归，注意此时startIndex应该++；与一般的递归不一样，回溯问题千万不能忘记撤销操作
下面是代码：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; //存放结果的集合
vector<int> path; //结果
void backTracking(int n, int k, int startIndex) {
//1、回溯函数参数以及返回值
if (path.size() == k) {
//2、终止条件
result.push_back(path);
return;
}
//3、单层处理逻辑
for (int i = startIndex; i <= n; ++i) {
path.push_back(i);
backTracking(n, k, i + 1);
path.pop_back(); //4、回溯，撤销操作
}
}
public:
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
backTracking(n, k, 1);
return result;
}
};
剪枝
其实这道题按照上面的代码来说还是可以进行剪枝的，比如下面这种情况：
n = 4 k = 3
第一次选取范围 第一次选取 第二次选取范围 第二次选取 选取结果
[1,2,3,4] 1 [2,3,4] 2 1,2
......
需要剪枝的情况
[1,2,3,4] 3
[1,2,3,4] 4
这是由于第一次取到的数字加上之后所有数字也不能满足path.size() == k，所以对于for循环的循环变量i结束时取值要进行约束，比如上面情况中就不必取到i = 3和i = 4两种情况
因此，for循环修改为：
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
// 剪枝
path.push_back(i); // 处理节点
backtracking(n, k, i + 1);
path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}
注意这个循环变量i的终止条件可以理解为：i-1+(k-path.size()) <= n。从i开始还需要k-path.size()个元素，但此时i还没加进path中，所以实际起始元素是i-1，即i-1+(k-path.size()) <= n