二阶常系数线性微分方程其一般形式,
y'' +p y' + qy = f(x) ①
可以写成
=> (y' + λ1 * y)' + λ2(y' + λ1 * y) = f(x) (λ1 + λ2 = p , λ1 * λ2 = q)
令 u = (y' + λ1 * y),得
u' + λ2*u = f(x)
就可以当成一阶线性微分方程来解了。
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接着我们再讲下一阶线性微分方程的一个好记的解法:
其一般形式
y' + p(x)y = f(x)
我们可以将两边同乘一个u,得
u*y' + u*p(x)y = u*f(x) ①
我们可以认为 (uy)' = y' * u + u*p(x)y 注: (uv)' = u'v + uv'
即 u' = up(x) =>
du/dx = up(x)
du/u = p(x)dx 得 ,
u = e^∫p(x)dx
得到 u 的值之后,就可以把 u 带入原式①,得
uy = ∫f(x)*udx
这样就得到y的通解了,这个方法还是比较好记的。