高数_第一章_第一节_函数

第一章 函数-极限-连续

前置知识

函数是主要研究对象

研究函数使用极限这个工具

极限：定义了许多重要概念

eg.导数、定积分、无穷级数

​ 有了函数这个研究对象，有了极限这个研究工具，就开始研究函数的第一个基本形态 —> 连续

1、 函数

1.1、考试概要

1.1.1、函数的概念以及常见的函数

1. 函数的概念：

重点：函数最重要的是定义域和对应法则

  1. 如果定义域 和 对应法则确定则确定其值域
  2. 如果两个函数定义域 和 对应法则相同则必定是相同的函数

常用函数：

1.符号&取整：

2.复合函数：

要求：

内层函数的值域和外层函数的定义域交集非空

tips:定义域只会比内层函数定义域要小或者相等，不可能变大

3.反函数

​ 说明：

​ 1.单调一定有反函数，有反函数的不一定单调。单调为有反函数的充分条件

​ 2.有反函数的充要条件是，f函数对定义域中所有的x都有一一映射到唯一一个y

2.初等函数

基本初等函数：

五类基本初等函数：

指数函数主要研究：
$$y=e^x$$
对数函数：
$$y=In(x)$$

初等函数关键是要用一个解析式表达，如果是分段则不属于初等函数

1.1.2、函数的四大基本性质

1.单调性

定义：

2.奇偶性

常见的奇偶函数

奇函数：
$$\begin{array}{l}{\sin }^{2}x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln \frac{1-x}{1+x},\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\\ \frac{e^x-1}{e^x+1},f(x)-f(-x)\end{array}$$
偶函数：
$$x^2,cosx,|x|,f(x)+f(-x)$$

• 几何意义

  

• 

例题

解：
$$\begin{array}{l}f(x)=\mathrm{In}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\\ f(-x)=\mathrm{In}\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)\\ f(-x)=\mathrm{In}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x}+x}\right)\\ f(-x)=\mathrm{In}{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}^{-1}\\ f(-x)=-\mathrm{In}\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\\ f(-x)=-f(x)\end{array}$$

$$f(x)=\mathrm{In}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$$

此函数是双曲正弦的反函数

3.周期性

定义：

常见函数周期：

$$\begin{gathered} sinx,cosx,si{n}^{3}x周期为2\pi \\ sin2x,si{n}^{2}x,sin|x|周期是\pi \end{gathered}$$

$$如果f(x)周期是T,则f(ax+b)的周期是\frac{T}{\left|a\right|}$$

4.有界性

定义：

一般讨论是否有界都是要考虑在哪个区间上，如果不指名区间，就是指定义域内

常见有界函数：
$$|\sin x|\le 1;|\cos x|\le 1;|\arcsin x|\le \frac{\pi }{2};|\arctan x\left|<\frac{\pi }{2},|\arccos x\right|\le \pi$$

1.2、常见考题和经典例题

1.2.1、 题型一 函数的性质

考察单调性、奇偶性、周期性、有界性的判定

例题：

1)

可以画图：

$$\begin{gathered} A:必定存在x为\frac{\pi }{2}+2k\pi ,当k足够大,任意实数N都会小于f(\frac{\pi }{2}+2k\pi )所以f(x)为无界函数 \\ B: \\ C: \\ D:显然f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数 \end{gathered}$$

2）

1.2.2、 题型二 复合函数