第四章 不定积分 part2

分段函数做不定积分

需要确保在分界点上,f(x)的原函数是连续的,只要保证了f(x)是连续的,f(x)积分出来一定是可导并且求导等于f(x)

找到C1和C2之间的关系,然后统一表示出来


第五章 定积分与反常积分

第一节 定积分

考试概要;

  1. 定积分概念
  2. 定积分性质
  3. 变上限积分函数
  4. 定积分的计算
二、常考题型

题型一、定积分的概念、性质以及几何意义

题型二、定积分计算

题型三、变上限定积分


(一)定积分的概念

定积分的定义:

是一个极限:一个求和的极限,区间上的取值和区间长度乘积

要求:如果划分区间,如何取区间上的值都不影响最终的结果

定积分是和式的极限,是具体的常数,不定积分是原函数的函数族

注:

(1)拉姆达 -> 0和n -> 无穷不等价:拉姆达为小区间最大的长度

(2)定积分是常数,固定的值,只和被积函数和被积上下限有关

(3)积分和取点无关和区间的分法无关

所以在[0,1]区间的时候可以采用特殊分法

n等分,然后小区间取最左边的值

研究定积分两个问题

  1. 可积性
  2. 定积分的计算

可积性

​ 充分条件:

​ (1)连续

​ (2)有界只有有限个间断点

​ (3)仅有有限个第一类间断点(一般是一个)

定积分的几何意义

二、定积分的性质

1)不等式:

(1)被积函数 f(x) <= g(x),积分后f(x) <= g(x)

(2)最大最小值 积分定理

(3)积分的绝对值 <= 绝对值函数的积分

用于:积分不等式;与积分有关的极限(需要用到夹逼定理)

2)中值定理:

  • 如果连续,在a,b上积分一定会等于平均值*(b-a)
  • 可以推广到第二条中值定理,b-a推广成g(x)从a~b上的积分,前提是g(x)恒大于或者恒小于0
三、变上限积分函数

微积分第一基本定理

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揭示了两大准则:

  1. 积分和求导互为逆运算
  2. 原函数存在定理,如果连续,则一定存在变上限积分函数一定是函数的原函数

如果上下限都是变量,则:

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四、定积分的计算

1)牛顿莱布尼兹公式

2)换元法

3)分部积分法,完全对应

​ 何时用:

​ 如何用:

4)利用奇偶性,周期性

5)利用公式

  1. 点火公式:

    sinx^n = cosx^n :n/(n-1)**1/2*π/2

    1. x(sinx) = π/2 f(sinx)

五、常见考题

1、定积分概念性质,几何意义

2、定积分的计算

3、变上限积分函数

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