无穷大的性质
- 有限个无穷大乘积是无穷大
- 无穷大和有界变量的和一定是无穷大
无穷大和无界变量的关系
无穷大要求N以后的所有项都是无穷大
无界变量要求N以后有变量是无穷大
无穷大的要求要比无界变量要高，无界变量不一定是无穷大
两个无穷大加减是无穷大；无界变量没有对应的结论
无穷大和无穷小的关系
无穷大的倒数是无穷小
无穷小的倒数不一定是无穷大；无穷小量一定不能为0
极限的复习考点
- 数列极限和函数极限的性质，概念及其存在准则
- 极限的三种性质：有界性保号性，极限和无穷小的关系
- 极限的两个准则：夹逼和单调有界
- 无穷小量和无穷大量
考题类型
- 极限的概念性质存在准则
- 求极限
- 无穷小比较
求极限方法
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利用基本极限求极限：常用基本极限：n√n = 1；n√a = 0
对于极限可以只看“老大”
tips:1^无穷三部曲
- 找到阿尔法和贝塔
- 然后阿尔法和贝塔相乘，0×无穷大然后得到值后，直接e^n得出结果
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利用等价代换求极限：
代换原则：乘除无条件换，加减有条件换，加：两项极限相比不等于-1，相减，两项极限之比不等于1
常见等价无穷小替换：
x - sinx ~ 1/6*(x^3)
arcsinx - x ~ 1/6*(x^3)
tanx - x ~ (1/3)x^3
x - arctanx ~ (1/3)x^3
x - In(1+x) ~ 1/2 * x^2
x - In(1+x) ~1/2 *x^2
(1+a(x))^b(x) - 1 ~ a(x)b(x)
-
利用有理运算法则：
整体求极限可以拆开来求极限，然后要求是部分的极限必须存在，然后可以拆开和差积商求极限
常用结论
1)如果f(x)极限非0，且为因子
可以先算出f(x)，limf(x)g(x) = Alimg(x)；无论g(x)极限是否存在
2)分式如果存在，分母趋向于0，则分子趋向于0
reason：分子 = 分式 * 分母，结果分子趋向于0
推广：分子趋向于0不能证明分母趋向于0，如果商趋向于非0，则可以证明分母也趋向于0
考试技巧：
如果是多项式极限存在来求未知数，只需要找到一项存在，剩余的极限必存在
0/0 and 无穷/无穷直接用
0*无穷大 可以由其他类型转换成该类型，然后再转换成最开始两种
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二阶可导推导不出二阶导函数连续，也推不出导数极限存在
如果是n阶可导，只能洛必达到n-1阶
如果是n阶导函数连续，就可以用到n阶
拉格朗日：整体：最值，不等式
皮亚诺：局部：极限，极值
0/0常用方法
多个正数的n次方之和开n方，取决于最大的那个正数
判断单调性：后项-前项 or 后项/前项（符号不变）
等式两边去极限
关键：初等不等式 ab<1/2*(a^2 + b^2)