ABC194-F -组合数学,递推版数位dp

题目大意:

一个十六进制数$n$.问你有多少个不含前导0的小于等于$n$的数里面恰好有$k$个不同的数.

$|n|\le 2e5$

题目思路:

首先，$k$个不同的数。我们就记录$dp$的一个维度为不同的数。然后转移的时候分与前面相同和与前面不同两种情况分别转移即可。但是这里显然得再套一个数位dp的模板。这里题解应用的递推版数位$dp$:

做法:

1.令$dp(i,j)$为填写完前$i$个数且恰好有$j$不同的数的方案数。并且没顶到上界。

那么这个时候和数位$dp$没啥区别了。所以直接转。(刷表式)

$dp(i+1,j)+=dp(i,j)\ast j$
$dp(i+1,j+1)+=dp(i,j)\ast (16-j)$

2.这里要考虑前导0的影响。也就只有当$j=0$的情况.
(要么放0.要么放[1,15])
$dp(i+1,0)+=dp(i,0)$
$dp(i+1,1)+=dp(i,0)\ast 15$

3.我们还得考虑顶到上界的情况.做法是在每一位的时候,假设前面都是上界，然后枚举当前$[0,v[i])$进行转移。

4.这么做就还有一种情况没考虑。就是当$x==n$的情况。就$dp$结束之后再特判即可.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define vi vector<int>
#define vll vector<ll>
const int maxn = 2e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int a[maxn];
ll dp[maxn][17];
int states;
int main()
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    string b; cin >> b;
    int n = b.size();
    int t; cin >> t;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
    
    
        if (isdigit(b[i - 1])) a[i] = b[i - 1] - '0';
        else a[i] = b[i - 1] - 'A' + 10;
    }
    for (int i = 0 ; i < n ; i++){
    
    
        for (int j = 1 ; j <= 16 ; j++){
    
    
            dp[i + 1][j] = (dp[i + 1][j] + dp[i][j] * j%mod)%mod;
            dp[i + 1][j + 1] = (dp[i + 1][j + 1] + dp[i][j] * (16 - j)%mod)%mod;
        }
        // 0
        dp[i + 1][0] = (dp[i + 1][0] + dp[i][0])%mod;
        dp[i + 1][1] = (dp[i + 1][1] + dp[i][0] * 15 % mod) % mod;
        for (int j = 0 ; j < a[i + 1] ; j++){
    
    
            int ns = states;
            // i = 0 , j = 0 只会发生在填第一位的时候，要特判
            if (i || j) ns |= (1 << j);
            dp[i + 1][__builtin_popcount(ns)] += 1;
        }
        states |= (1 << a[i + 1]);
    }
    cout << dp[n][t] + (t == __builtin_popcount(states)) << endl;
    return 0;
}