力扣1776.车队Ⅱ - 单调栈维护斜率最值

题目大意:

一维平面上给你$n$个汽车在位置$p_i$,以速度$v_i$往右行驶。当两车相遇的时候，速度变为两车最慢速度。现在问你每个车它与下一辆车(车队)相遇的时间。

$n\le 1e5$

题目思路:

显然我们有一个暴力的$n^2$，对每个车，求出它与后面那些车相遇的最短时间.

画在$s-v$二维坐标系中,我们就是要求$t=\frac{s_j-s_i}{v_i-v_j}$的最小值.那么就是求点对之间的斜率最大值.

分析过程:

这个我们可以利用单调栈来实现：令入栈顺序为：$C_n,C_{n-1},...,C_1$

假设当前点为$C_i$,栈顶元素$C_x$，

0.若栈为空，则它不会与任何车相遇。

1.若其速度大于等于$C_i$，则它俩永远不会相遇，则它对$C_i$的答案的更新没有作用,也对之后的点没有作用。(因为$C_i$是$C_x,x\in [1,i]$的速度瓶颈，后面的车速度无法超过$C_i$).所以将其弹出栈顶.

2.1否则，假设栈顶元素和它的最大斜率配对为:$(C_x,C_y),x<y$.那么如果$k_{i,x}<k_{x,y}$.则$k_{i,y}>k_{i,x}$($k$为点对斜率).这种情况用白话讲就是：$C_i$会在$C_x$和$C_y$相遇之后再汇合。所以对于$C_i$来讲，瓶颈就是$C_y$.所以这个时候我们就需要将$C_x$弹出栈，继续这个过程，如下图所示:

2.2 反之的话,$k_{i,y}<k_{i,x}$.这种情况用白话讲就是:$C_i$会在$C_x$和$C_y$相遇之前与$C_x$汇合。那么答案就是$(C_i,C_x)$.这个时候停止这个过程即可.如下图所示:

2.3 结束这个过程后将$i$入栈.

从上面两个过程可以看出，我们的单调栈就会维护一个下凸包.因为这样是最优的。

class Solution {
    
    
public:
    stack<int> s;
    double calc(int i , int j , vector<vector<int>>& a){
    
    
        return 1.0 * (a[j][0] - a[i][0]) / (a[i][1] - a[j][1]);
    }
    vector<double> getCollisionTimes(vector<vector<int>>& a) {
    
    
        vector<double> ans;
        int n = a.size();
        ans.resize(n);
        ans[n - 1] = -1;
        for (int i = 0 ; i < n ; i++){
    
    
            double res = 1e9;
            for (int j = i + 1 ; j < n ; j++){
    
    
                if (a[i][1] < a[j][1]) continue;
                res = min (res , calc(i , j , a));
            }
            if (res == 1e9) ans[i] = -1;
            else ans[i] = res;
        }
        return ans;
    }
};