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1.标题：武功秘籍
小明到X山洞探险，捡到一本有破损的武功秘籍（2000多页！当然是伪造的）。他注意到：书的第10页和第11页在同一张纸上，但第11页和第12页不在同一张纸上。
小明只想练习该书的第81页到第92页的武功，又不想带着整本书。请问他至少要撕下多少张纸带走？
这是个整数，请通过浏览器提交该数字，不要填写任何多余的内容。
答案是7，分别是(80,81),(82,83),(84,85),(86,87),(88,89),(90,91),(91,92)
2.标题：切面条
一根高筋拉面，中间切一刀，可以得到2根面条。
如果先对折1次，中间切一刀，可以得到3根面条。
如果连续对折2次，中间切一刀，可以得到5根面条。
那么，连续对折10次，中间切一刀，会得到多少面条呢？
答案是个整数，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容。
答案是1025. 根据已知可以自己推出来公式 x = 2 n + 1 （n为对折次数）
3.标题：猜字母
把abcd…s共19个字母组成的序列重复拼接106次，得到长度为2014的串。
接下来删除第1个字母（即开头的字母a），以及第3个，第5个等所有奇数位置的字母。
得到的新串再进行删除奇数位置字母的动作。如此下去，最后只剩下一个字母，请写出该字母。
答案是一个小写字母，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容
解法一:
注意此题的坑，不能直接删除，因为在遍历过程中直接删除元素索引会发生改变
package B14;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Demo03 {
static List<Character> chList = new ArrayList<>();
static List<Character> newList = new ArrayList<>();
public static void main(String[] args) {
for (int i = 0; i < 106; i++) {
for (int j = 0; j < 19; j++) {
chList.add((char)('a' + j));
}
}
while (true){
// 取出奇数，相当于将偶数位置取出来,对应于索引就是奇索引
for (int i = 1; i < chList.size(); i+=2) {
newList.add(chList.get(i));
}
chList.clear(); // 清除chList中的元素
chList.addAll(newList); // 将newList的元素全部加入到chList中
newList.clear(); // 清除newList中的元素
if (chList.size() == 1) break;
}
System.out.println(chList.get(0));
}
}
解法二:
package B14;
public class Demo03_2 {
public static void main(String[] args) {
char[] arr = new char[2014];
// 初始化
int index = 0;
for (int i = 0; i < 106; i++) {
for (int j = 0; j < 19; j++) {
arr[index] = (char)('a' + j);
index++;
}
}
int len = 2014; // 每一轮的当前长度
while (len!=1){
int p = 0; // p是移动比较慢的指针,用来在p处覆盖
for (int i = 1; i < len; i+=2) {
// 移动比较快的指针,用来筛选
arr[p++] = arr[i];
}
// p移动的次数即为这一轮剩下的字符的个数
len = p;
}
System.out.println(arr[0]);
}
}
4.标题：大衍数列
中国古代文献中，曾记载过“大衍数列”, 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。
它的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50 …
其规律是：对偶数项，是序号平方再除2，奇数项，是序号平方减1再除2。
以下的代码打印出了大衍数列的前 100 项。
for(int i=1; i<100; i++)
{
if(________________) //填空
System.out.println(i*i/2);
else
System.out.println((i*i-1)/2);
}
请填写划线部分缺失的代码。通过浏览器提交答案。
注意：不要填写题面已有的内容，也不要填写任何说明、解释文字。
答案是 i % 2 == 0
5.标题：圆周率
数学发展历史上，圆周率的计算曾有许多有趣甚至是传奇的故事。其中许多方法都涉及无穷级数。
图1.png中所示，就是一种用连分数的形式表示的圆周率求法。
下面的程序实现了该求解方法。实际上数列的收敛对x的初始值 并不敏感。
结果打印出圆周率近似值（保留小数点后4位，并不一定与圆周率真值吻合）。
double x = 111;
for(int n = 10000; n>=0; n--){
int i = 2 * n + 1;
x = 2 + (i*i / x);
}
System.out.println(String.format("%.4f", ______________));
答案是: 4 / (x - 1)
n ⇒ 兀 = 4 / n，可以看出题中给出的循环就是算n的，根据图中公式对应于循环变量 ⇒i * i 就是式子中的分子，可以看出循环是从最下面往上算的，退出循环时的 x = n + 1，所以 n = x - 1
6.标题：奇怪的分式
上小学的时候，小明经常自己发明新算法。一次，老师出的题目是：
1/4 乘以 8/5
小明居然把分子拼接在一起，分母拼接在一起，答案是：18/45 （参见图1.png）
老师刚想批评他，转念一想，这个答案凑巧也对啊，真是见鬼！
对于分子、分母都是 1~9 中的一位数的情况，还有哪些算式可以这样计算呢？
请写出所有不同算式的个数（包括题中举例的）。
显然，交换分子分母后，例如：4/1 乘以 5/8 是满足要求的，这算做不同的算式。
但对于分子分母相同的情况，2/2 乘以 3/3 这样的类型太多了，不在计数之列!
注意：答案是个整数（考虑对称性，肯定是偶数）。请通过浏览器提交。不要书写多余的内容。
package B14;
public class Demo06 {
public static void main(String[] args) {
int ans = 0;
for (int a = 1; a < 10; a++) {
for (int b = 1; b < 10; b++) {
if (a == b) continue;
for (int c = 1; c < 10; c++) {
for (int d = 1; d < 10; d++) {
if (c == d) continue;
int e = a * c;
int f = b * d;
int g = a * 10 + c;
int h = b * 10 + d;
if (e * h == f * g){
ans ++;
}
}
}
}
}
System.out.println(ans);
}
}
7.标题：扑克序列
A A 2 2 3 3 4 4， 一共4对扑克牌。请你把它们排成一行。
要求：两个A中间有1张牌，两个2之间有2张牌，两个3之间有3张牌，两个4之间有4张牌。
请填写出所有符合要求的排列中，字典序最小的那个。
例如：22AA3344 比 A2A23344 字典序小。当然，它们都不是满足要求的答案。
请通过浏览器提交答案。“A”一定不要用小写字母a，也不要用“1”代替。字符间一定不要留空格。
全排列，答案是: 2342A3A4
package B14;
import java.util.HashSet;
import java.util.Set;
public class Demo07 {
static char[] a = {
'A', 'A', '2', '2', '3', '3', '4', '4'};
static Set<String> set = new HashSet<>();
public static void main(String[] args) {
f(0);
for (String s: set) {
System.out.println(s);
}
}
public static void f(int step){
if (step == a.length){
if (check()){
set.add(new String(a));
}
return;
}
char t;
for (int i = step; i < a.length; i++) {
t = a[step];
a[step] = a[i];
a[i] = t;
f(step+1);
t = a[step];
a[step] = a[i];
a[i] = t;
}
}
public static boolean check(){
String s = new String(a);
int id1 = s.indexOf("A");
int id2 = s.lastIndexOf("A");
int id3 = s.indexOf("2");
int id4 = s.lastIndexOf("2");
int id5 = s.indexOf("3");
int id6 = s.lastIndexOf("3");
int id7 = s.indexOf("4");
int id8 = s.lastIndexOf("4");
if (id2-id1==2 && id4-id3==3 && id6-id5==4 && id8-id7==5) return true;
return false;
}
}
8.标题：分糖果
有n个小朋友围坐成一圈。老师给每个小朋友随机发偶数个糖果，然后进行下面的游戏：
每个小朋友都把自己的糖果分一半给左手边的孩子。
一轮分糖后，拥有奇数颗糖的孩子由老师补给1个糖果，从而变成偶数。
反复进行这个游戏，直到所有小朋友的糖果数都相同为止。
你的任务是预测在已知的初始糖果情形下，老师一共需要补发多少个糖果。
【格式要求】
程序首先读入一个整数N(2<N<100)，表示小朋友的人数。
接着是一行用空格分开的N个偶数（每个偶数不大于1000，不小于2）
要求程序输出一个整数，表示老师需要补发的糖果数。
例如：输入
3
2 2 4
程序应该输出：
4
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理
模拟每一轮操作
package B14;
import java.util.Scanner;
public class Demo08 {
static int[] a;
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
a = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
a[i] = scan.nextInt();
}
int ans = 0;
while (true){
int t = a[0];
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i == n - 1){
// 最后一个小朋友要单独处理
a[i] = a[i] / 2 + t / 2;
}else {
a[i] = a[i] / 2;
a[i] += a[i+1] / 2;
}
if ((a[i]&1) == 1){
ans++;
a[i]++;
}
}
if (check()){
break;
}
}
System.out.println(ans);
}
public static boolean check(){
int x = a[0];
for (int i = 1; i < a.length; i++) {
if (a[i] != x) return false;
}
return true;
}
}
9.标题：地宫取宝
X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。
【数据格式】
输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2
再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
dfs爆搜一波可以得42分，当n和m比较大时，会出现超时。
package B14;
import java.util.Scanner;
public class Demo09 {
static int[][] arr;
static int m, n, k, mod = 1000000007;
static long ans = 0;
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
n = scan.nextInt();
m = scan.nextInt();
k = scan.nextInt();
arr = new int[n][m];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
arr[i][j] = scan.nextInt();
}
}
dfs(0, 0, 0, -1);
System.out.println(ans);
}
/**
*
* @param x x坐标
* @param y y坐标
* @param t 当前拿的物品数
* @param max 当前拿的物品中最大的价值
*/
private static void dfs(int x, int y, int t, int max) {
if (x==n || y == m || t > k) return;
int cur = arr[x][y];
if (x==n-1 && y == m-1){
// 当到最后一格的时候
// 1. 到当前格前取得宝物的数量已经等于k了,则不管当前格的宝物
// 的价值是否大于之前最大的，都不取
// 2. 到当前格时取得宝物的数量为k-1并且,cur大于之前最大的，
// 则取最后这一格的宝物
if (t==k || (t==k-1&&cur>max) ){
ans++;
if (ans > mod) ans %= mod;
}
return;
}
if (cur > max){
// 如果这个宝物的价值大于之前的, 取走它
dfs(x+1, y, t+1, cur);
dfs(x, y+1, t+1, cur);
}
// 如果这个宝物的价值大于之前的, 不取它。或者价值没之前的大
dfs(x+1, y, t, max);
dfs(x, y+1, t, max);
}
}
用记忆化dp进行优化
package B14;
import java.util.Scanner;
/*
1<=n,m<=50, 1<=k<=12,Ci (0<=Ci<=12)
*/
public class Demo10 {
static int[][] arr;
static int m, n, k, mod = 1000000007;
static long[][][][] cache = new long[51][51][14][14];
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
n = scan.nextInt();
m = scan.nextInt();
k = scan.nextInt();
arr = new int[n][m];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
arr[i][j] = scan.nextInt();
}
}
for (int i = 0; i < 51; i++) {
for (int j = 0; j < 51; j++) {
for (int l = 0; l < 14; l++) {
for (int o = 0; o < 14; o++) {
cache[i][j][l][o] = -1;
}
}
}
}
long ans = dfs(0, 0, 0, -1);
System.out.println(ans);
}
/**
*
* @param x x坐标
* @param y y坐标
* @param t 当前拿的物品数
* @param max 当前拿的物品中最大的价值
*/
private static long dfs(int x, int y, int t, int max) {
if (cache[x][y][t][max+1] != -1) return cache[x][y][t][max+1];
if (x==n || y == m || t > k) return 0;
int cur = arr[x][y];
int ans = 0;
if (x==n-1 && y == m-1){
// 当到最后一格的时候
if (t==k || (t==k-1&&cur>max)) return 1;
return ans;
}
if (cur > max){
// 如果这个宝物的价值大于之前的, 取走它
ans += dfs(x+1, y, t+1, cur);
ans += dfs(x, y+1, t+1, cur);
}
// 如果这个宝物的价值大于之前的, 不取它。或者价值没之前的大
ans += dfs(x+1, y, t, max);
ans += dfs(x, y+1, t, max);
cache[x][y][t][max+1] = ans % mod;
return ans;
}
}
10.标题：矩阵翻硬币
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i * x 行，第 j * y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
【数据格式】
输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
【样例输入】
2 3
【样例输出】
1
【数据规模】
对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于100%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
第x行第y列被翻动的总次数?
考虑第1行，第y列，y有多少真因子，就会被翻动多少次，而所有的y中，只有平方数的真因子个数为奇数(约数总是成对出现的)
考虑第1列，第x行，x有多少真因子，就会被翻动多少次，而所有的x中，只有平方数的真因子个数为奇数
如: 12的约数 (1, 12),(3, 4) 有 4 个 约数，而 36 的约数 (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6) – 有奇数个约数
x,y硬币被翻动的次数 = x真因子个数 * y真因子个数，只有 奇数 * 奇数 = 奇数，所以，若要x,y为反面， 必须x,y都是平方数
因此，反面硬币总数 = m中的平方数的个数 * n中平方数的个数
那么在m中有多少个平方数呢?答案是sqrt(m)向下取整个，如9内有三个平方数1, 4, 9; 16里面有4个平方数1, 4, 9, 16; 25内有5个平方数
因此此题等价于求sqrt(m)*sqrt(n),那么怎么对一个很大的数开平方呢?
假设一个数的长度为length,其平方根的长度为length/2 (偶数)或者length/2+1(奇数)
我们可以从高位到低位不停地试探，每一个取平方后恰好不超过目标平方数的值
package B14;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Demo10 {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
String n = scan.next();
String m = scan.next();
System.out.println(sqrt(n).multiply(sqrt(m)));
}
public static BigInteger sqrt(String s){
int length = s.length();
int len = 0;
// 求出需要开方数开方后的长度
if (length%2==0){
len = length / 2;
}else {
len = length / 2 + 1;
}
char[] sArr = new char[len];
Arrays.fill(sArr, '0'); // 将sArr全部填充为'0'
BigInteger target = new BigInteger(s); // 需要开方的数
// 从高位到低位枚举开方后的结果
for (int pos = 0; pos < len; pos++) {
for (char c = '0'; c <= '9'; c++) {
sArr[pos] = c; // 在pos位置试着填入1-9
BigInteger pow = new BigInteger(String.valueOf(sArr)).pow(2);
if (pow.compareTo(target) == 1){
// 当pow的第pos位取c时,sArr存储的结果的平方大于原数
sArr[pos] -= 1; // 则将pos位的数减一
break;
}
}
}
return new BigInteger(String.valueOf(sArr));
}
}
小结：
01 武功秘籍 书的构造方式，思维题
02 切面条 发现规律，思维题
03 猜字母 数组中元素的挪动和挤压
04 大衍数列 考察奇偶数判断
05 圆周率 细心，极限思维
06 奇怪的分式 枚举abcd，分数运算，最大公约数
07 扑克排序 带重复元素的全排列
08 分糖果 模拟
**09 地宫取宝 搜索->记忆型递归，因为子问题重复求解
****10 矩阵翻硬币 数学；字符，字符串，BigInteger的互相转化