菲波那契数列的快速幂矩阵求法

先看整数的快速幂运算
正常情况下，假如你要计算X¹¹，
则需要X¹¹ = X * X * X * X * X * X * X * X * X * X * X

而快速幂运算则可以省去一些重复的过程
先将指数化成二进制形式。

11D = 1011B

X¹¹ = X¹ * X² * X⁸

int res = 1;  // 结果
int m = x;  // 输入
int n;  // 指数

while(指数不等于0){
    
    

	if(当前n的最低位为1){
    
    
        将当前res与当前x的指数阶相乘
      }
	
	m *= m;  // 对当前m进行平方处理,当x为2时,m 的取值为 x^2,x^4,x^8,x^16....
	n右移一位，直到n等于0;
}
循环结束后输出res的值

完整代码

public class Test {
    
    

    public static void main(String[] args) {
    
    

        int res = f(2, 11);

        System.out.println(res);
    }

    public static int f(int x, int n){
    
    

        int res = 1;

        while (n != 0){
    
    

            if ((n & 1) == 1){
    
    
                res = res * x;
            }

            x *= x;  // 当x = 2, 此步 => x^2,x^4,x^8,x^16....
            n = n >> 1;  // 右移，相当于除二
        }

        return res;
    }
}

斐波那契矩阵求法是基于等式：

[  F(n)   F(n - 1)  ]  =  [1  1]  *  [   1       1  ]  (n - 2)
[   0        0      ]     [0  0]     [   1       0  ] 

菲波那契数列的快速幂矩阵求法与整数的快速幂运算过程大体相似。

public class Test {
    
    

    public static void main(String[] args) {
    
    

        System.out.println(mPow(30));
    }


    // 返回矩阵M*N的结果
    public static int[][] mult(int[][] M, int[][] N){
    
    

        int [][] R = new int[2][2];

        R[0][0] = M[0][0] * N[0][0] + M[0][1] * N[1][0];
        R[0][1] = M[0][0] * N[0][1] + M[0][1] * N[1][1];
        R[1][0] = M[1][0] * N[0][0] + M[1][1] * N[1][0];
        R[1][1] = M[1][0] * N[0][1] + M[1][1] * N[1][1];

        return R;
    }

    public static int mPow(int n){
    
    

        int[][] res = {
    
    {
    
    1,1},{
    
    0,0}};
        int[][] m = {
    
    {
    
    1,1},{
    
    1,0}};

        n = n - 2;

        while (n != 0){
    
    

            if ((n & 1) == 1){
    
    
                res = mult(res, m);
            }

            m = mult(m, m);

            n = n >> 1;  // 右移，相当于除二
        }

        return res[0][0];
    }
}