面试题43 1~n整数中1出现的次数
题目：
输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。
方法一、找规律
题解：
参考
注：
1、位因子应是： 10**i-1；
2、其中每次易得1出现的次数，可以这样理解易得：
想到生活中常见的密码锁，就是那种几个滚轮的密码锁，固定其中的一位密码（即，当前位），拨动其他位置的密码。这样就可以理解图中给出的 “易得”了……
代码：
class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
int ret=0;
if(n<1) return 0;
int num_digits=0;
int temp=n;
while(temp!=0){
++num_digits;
temp/=10;
}
int high=n/10, low=0, cur=n%10, digit=1;
for(int i=0; i<num_digits; ++i){
if(cur==0) ret+=high*digit;
else if(cur==1) ret+=high*digit+low+1;
else ret+=(high+1)*digit;
low=cur*digit+low;
cur=high%10;
high/=10;
digit*=10;
}
return ret;
}
};
其中计算n的位数num_digits，可以和下面的for循环合并，如下：
class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
int ret=0;
if(n<1) return 0;
int high=n/10, low=0, cur=n%10, digit=1;
//hight=0,表示cur为最高位，high超出最高位；此时，cur不能等于0，因最高位不能为0。
//high!=0,表示cur不是最高位，cur是几都行；
//cur!=0,表示cur可做最高位，high是几都行；
while(high!=0 || cur!=0){
if(cur==0) ret+=high*digit;
else if(cur==1) ret+=high*digit+low+1;
else ret+=(high+1)*digit;
low=cur*digit+low;
cur=high%10;
high/=10;
digit*=10;
}
return ret;
}
};
时间复杂度 O(logn) 【以10为底】：函数是对n的位数循环，数字 n 的位数为log 10 n ， 循环内的计算操作使用 O(1) 时间，因此循环使用O(logn) 时间。
空间复杂度 O(1) ： 几个变量使用常数大小的额外空间。
方法二、暴力解法（超时）
class Solution {
public:
int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
{
int cnt=0;
if(n<1) return 0;
for(unsigned int i=1; i<=n; i++){
while(i!=0){
if(i%10==1) ++cnt;
i/=10;
}
}
return cnt;
}
};
面试题44 数字序列中某一位的数字
题目：
数字以0123456789101112131415…的格式序列化到一个字符序列中。在这个序列中，第5位（从下标0开始计数）是5，第13位是1，第19位是4，等等。
请写一个函数，求任意第n位对应的数字。
示例 1：
输入：n = 3
输出：3
示例 2：
输入：n = 11
输出：0
题解：
参考
代码：
class Solution {
public:
int findNthDigit(int n) {
if(n==0) return 0;
int ret;
int digit=1;
long int start=1, count=9;//star和count要设为longint型，否则会因数太大而溢出；
while(n>count){
n=n-count;
start*=10;
digit+=1;
count=9*start*digit;
}
int num=start+(n-1)/digit;// 算出原始的 n 到底对应哪个数字
int remainder=(n-1)%digit;// 余数就是原始的 n 是这个数字中的第几位
string numString=to_string(num);
ret=numString[remainder]-'0';
return ret;
}
};
时间复杂度 O(log n) ： 所求数位 n对应数字 num 的位数 digit 最大为 O(log n) ；第一步最多循环 O(log n) 次；第三步中将num 转化为字符串使用 O(log n) 时间；因此总体为 O(log n) 。
空间复杂度 O(log n) ： 将数字 num 转化为字符串 str(num) ，占用 O(log n) 的额外空间。
面试题62: 圆圈中最后剩下的数字(约瑟夫环)
方法二：(约瑟夫环)
0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。
限制：
1 <= n <= 10^5
1 <= m <= 10^6
题解：
参考
总的来说：每一轮的开头元素位置，是上了一轮这个元素向前移动m步后得到的，所以一轮的开头元素在上一轮中的位置，就是 (当前index + m) % 上一轮剩余数字的个数（因为所有元素一起移动，所以此公式也适合非头元素的反推）；
- +m代表从下向上反推；
- 对‘“一轮剩余数字的个数”取余，是因为，数字排成圆形；
最后剩余一个元素，即是开头元素，index =0；按照上诉公式反推，即可得到，最后剩余的元素在原数组中的位置。
由以上分析可得公式
- f(n,m)：表示每次在n个数字【0,1，…，n-1】中删除第m个数字，最后剩下的一个数字的索引。（索引从0开始）
- f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n
初始条件：f(1,3)=0;
可看出是动态规划的形式，由于f(n,m)只由f(n-1,m)算出，所以可以使用一个变量index滚动记录，不需要创建一个dp数组，节省空间。
代码：
class Solution {
public:
int lastRemaining(int n, int m) {
int index = 0;
for(int i =2; i<=n; i++){
index=(index+m)%i;
}
return index;
}
};
时间复杂度：O(n)，一个for循环
空间复杂度：O(1)，只使用常数个变量。