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题目描述
汉诺塔问题,条件如下:
这里有 A、B、C 和 D 四座塔。
这里有 n个圆盘, n的数量是恒定的。
每个圆盘的尺寸都不相同。
所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 A 上,且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。
我们需要将所有的圆盘都从塔 A 转移到塔 D 上。
每次可以移动一个圆盘,当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时,可将圆盘移至这座塔上。 请你求出将所有圆盘从塔 A 移动到塔 D,所需的最小移动次数是多少。
输出
对于每一个整数n( 1 ≤ n ≤ 12 1\leq n \leq12 1≤n≤12) ,输出一个满足条件的最小移动次数,每个结果占一行。
思路
我们先考虑三座塔的情况
肯定是先把 n − 1 n-1 n−1个盘子放到B塔,然后把最后这个放到C塔,然后再把B塔的这 n − 1 n-1 n−1个盘子放到C塔
所以很容易得到
a i = 2 ∗ a i − 1 + 1 a_i = 2*a_{i-1} + 1 ai=2∗ai−1+1
那再来看回原题
四个塔,那我们是否可以视为是独立一座塔和三座塔的处理呢?
我们枚举一个 j j j,表示 j j j个盘子放去B塔,然后剩下的再去放,最后再把这 j j j个盘子放到D塔
那很显然,我们用 f i f_i fi表示i个盘子的最少步数
则
f i = m i n 1 ≤ j ≤ i ( 2 ∗ f j + a i − j ) f_i = \underset{1\leq j \leq i}{min}(2*f_j + a_{i-j}) fi=1≤j≤imin(2∗fj+ai−j)
代码
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int a[15], f[15];
int main() {
a[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 12; ++i) a[i] = 2 * a[i - 1] + 1;
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
f[1] = 1;
for (int i = 1; i <= 12; ++i) {
for (int j = 0; j <= i; ++j) f[i] = min(2 * f[j] + a[i - j], f[i]);
printf("%d\n", f[i]);
}
}