动态规划-序列联配问题(1)最优对齐

引言

序列联配是生物信息学最基础的概念，例如基因序列。
大多数数据分析分析策略都需要使用联配得到的信息。

例如输入法场景，我们有一个字典词库，用户输入的单词S（可能输错），我们需要尽快地找到字典词库中与它最像的单词，修正用户的输入。

问题

问题描述

两个字符串序列 $S = S_1S_2...S_n,T = T_1T_2...T_n,$ 计算联配(S′,T′),使得编辑操作数目s(S′,T′)最小。

问题分析

我们可以转化成对齐字符串。两个字符串T和S，我们对字符串每个对应位置的元素做以下定义，因为这样之后我们就可以进行补齐到等长：
在这里插入图片描述

S′[i] = ’-’：S[i] 相比于T[i]少了一个字母，称作删除
T′[i] = ‘-’: S′[i] 相比于T[i]多了一个字母，称作插入
S[i] 与 T[i] 位置元素相同，称作匹配

等长之后，方便我们就可以计算两个字符串之间的相似度（如果对齐需要的操作越少，理论上相似度越高），做出如下递推式，其中s(T‘,S’)为预定义的一个score函数，在这里就是匹配则score+1，如果没有匹配就扣分，遗漏字符或者多余了字符，这种严重性我们认为比输错字符更大，所以这里暂时规定输错-1,遗漏和多余-3。

$\max \begin{cases} s(T_i,S_j) +OPT(i-1,j-1);\text{} \\ s('-',S_j) + OPT(i,j-1);\text{} \\ s(T_i,'-')+OPT(i-1,j) \end{cases}$

这样之后，你会发现有多种对齐方案，原问题转化为如何找出最优的对齐方案（即使得s(T′,S′)分数最高）。

解决思路

用一个动态数组存储当前最优情况，不断更新决策，在当前状态下找到下一步最优。

举例说明
在这里插入图片描述
首先初始化0行和0列，先解释一下这个二维数组的意义，以红圈-9的位置为例，代表OPT("",“OCU”)，即T为空，S为"OCU",因为T为空，S中每一个值只能和空格对齐，而和一次空格对齐就是-3，最终得分-9。我们可以计算第0行和第0列的元素，他们只能和空格对齐，因此都是-3的倍数。然后我们就能依据前面的递推公式进行计算了。
例如最后右下角max{3+1,0-3,0-3} = 4，这样我们可以获得最好的对齐分数是4。
$\max \begin{cases} 1+OPT("OCCURRENC","OCURRANC")\\ -3+OPT("OCCURRENC","OCURRANCE") \\ -3 + OPT("OCCURRENCE","OCCURRANC") \end{cases}$
在这里插入图片描述
伪代码如下：

要想知道实际的对齐方案是怎么样的，换句话说，即从右下角到左上角的路径（这个路径告诉我们S’与T’是如何生成的）。

这个过程用回溯方法即可解决。从4开始考虑，它是左上角三个格子通过加上一个score得到，那么我们也很容易通过让4扣除这个得分回到原来的格子，看其是否与格子实际分数相同，如果相同，则说明4是从该格子而来。下图例子可以看出只可能是4-1=3，所以是从3来的。
在这里插入图片描述

问题的最优是否最好？

在实际应用中，我们不一定按照最优的方案回溯，我们依据分数给每个决策方向设定一个概率，依据概率随机进行回溯。这样找到的解不一定是最优解，但是一个不错（次优）的解。例如输入法敲单词，用户可能存在记忆偏差，最优解不一定是用户想敲的词。在一个有问题的打分方案下，寻找最优并没有意义。我们依据概率对回溯做多次决策进行聚类，聚类的中心则是最优的联配方案。

如下图圈里，斜着走和向上走都是可以的。在这里插入图片描述

总结

对于动态规划中的序列联配问题，第一点先思考如何将其转换成一个多步决策问题。本文中采用将原问题将S与T对齐转换成S如何从T中得出，分别列举了三种可能情况，这三种情况的划分是依据S和T递归下标的变化得出的，同时-1（匹配），S-1（插入），T-1（删除）。
划分好依据后，就有三种不同的决策方向，如何选择决策方向是动态规划的特点，寻找最优解。
如何初始化，和写好状态边界。