线性代数笔记——第一章行列式

教材|线性代数（上海交通大学第三版）

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第一章|行列式

1.1行列式的概念

行列式

定义
性质
计算方法
用行列式求解特殊的线性方程组的克拉默法则

二阶行列式

2^2个数，2！项的代数和。

二阶行列式的表示：

D=a11a22-a12a21	即对角线的乘积之差
a11	a12
a21	a22

a11、a22所代表的是主对角线，a21、a12所代表的是次对角线。
可以把二阶行列式叫做det A或者det D2；det（aij）或者det|aij|。

二阶行列式的应用

求解二元一次方程组

$a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1$

$a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2$

消元求解。

D1=
第一列	原行列式
b1	a12
b2	a22

D2=
原行列式	第二列
a11	b1
a21	b2

解得二阶行列式为：

x1=D1/D,X2=D2/D;

逆序数表示：
$1)^t(1,2) *a11a22+(-1)^t(2,1) *a12a21$
逆序数为次方项。

三阶行列式

D=	a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32	-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32
a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

n阶排列

2^n个数，n！种排列；

自然排列
$a 1 a 2 a 3 . . . . a n - 1 a n$

逆序与逆序数

t代表逆序数。
n阶排列种逆序的个数
- 为奇数——奇排列
- 为偶数——偶排列
- 判断：
  - $n (n - 1) / 2! = 2 k$
    
    $n (n - 1)! = 4 k$
    
    $n = 4 m / 4 m + 1 — — 偶$
    
    $n = 4 m + 2 / 4 m + 3 — — 奇$
表示：
- $t (a 1 a 2 a 3 . . . a n) 逐个！$
- $t (p 1 p 2 p 3 . . . . p n)$
范围：

$0 = < t < = n (n - 1) / 2$

自然排列的逆序数为：
$t (n (n - 1) . . . 321) = n (n - 1) / 2;$

n阶行列式

n个元素的乘积的代数和称为n阶行列式。
n^2个数排成n行n列的正方形。

图

D=
a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

1.2行列式的性质

上三角和下三角

=对角线上元素的乘积，连乘符号Π

主对角和次对角。

次对角（反方向的）：

图图

对换

（i，j）位置

连续偶次对换，排列不变
对换后一一映射
1. 偶——奇
2. 奇——偶
n>=2时，奇=偶=n！/2，逆序数相等

转置

类似于二维数组的翻转——aij-->aji,D^T/D‘

a1,p1[行标自排]–>ap1,1[列标自排] ==》D=D^T，转置后行列式的值不变~

互换行

ri-->rj

行列式反号，加个负号；
因为D=-D,所以D=0。

若两行或两列元素相等，则行列式等于零。

数乘

某一行所有元素都乘以数k，等于用数k乘此行列式，它的逆否命题也是正确的~

kD就等于某amn*k，am(n+1)k…

只能乘某一行或某一列，不能都乘！

某两行的元素成比例，则行列式等于零。

行列式拆分

ai1+bi1,ai2+bi2…它们是两个行列式的和，具体写为：


a1k	a1m
ai1+bi1	ai2+bi2
a2k	a2m


a1k	a1m
ai1	ai2
a2k	a2m


a1k	a1m
bi1	bi2
a2k	a2m

只能拆其中一行（列），其他位置必须一样！

倍加

某一行（列）的各个元素加上另一行（列）对应元素的k倍，行列式的值不变。

D____rm+crk___D’

具体写为:


ai1	ai2
ak1	ak2
aj1	aj2


ai1	ai2
c*ai1+ak1	c*ai2+ak2
aj1	aj2

=D’

1.3行列式的计算

特点行列式的计算

各行（列）的元素和相同,则行列式的值为零

c代表列；

D____c3-2c2___=0

对称行列式

表示：D=|aij|n
aij=aji，i、j=1，2，3.....,n

反对称

对角线元素都等于零

aij=-aji

奇数阶的反对称矩阵=转置D^T，而DT=-D,所以D=-D=0；

余子式M

余下的子行列式

降阶

代数余子式：Aij=(-1)^(i+j) *Mij

注意只和位置有关

n阶行列式的第i行除了第j列的元素aij外，全为零

则D=aijAij;

n行为ann。

特殊：
$annAnn=ann*{(-1)^(n+n)Mnn/Ann}$

交换相邻两行n-i次

一般：

行：D=(-1)^(n-i)

列：D=(-1)^(n-j)
$D=aij(-1)^(i+j)Mij=aijAij$

展开定理

D=|aij|n

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=

图！

展开和性质一起使用，余子式仅与位置有关。

) *Mij`

注意只和位置有关