求乘法逆元的两种方法（费马小定理）（JAVA）

引入：

题目链接.

给定 n,p 求 1∼n 中所有整数在模 p 意义下的乘法逆元。

分析：

inv(a)表示元素a在p下的逆元

具体形式为 $$inv(a)\ast a\%p=1$$

费马小定理求逆元（logn）

限制条件：p必为质数才可以用，否则答案具有不确定性

费马小定理 定义：$$a^{p-1}\%p=1$$
可以推出：$$a^{p-2}\ast a\%p=1$$
即:$$inv(a)=a^{p-2}$$
所以用快速幂求一下，在运行过程中对p取模即可。

代码：

JAVA语言限制无法通过，换C也不一定能AC，

因为本题有n次询问

总复杂度O(nlogn)

import java.util.Scanner;

public class 求逆元费马小定理 {
    
    
	static long n, p;
	static long pow(long m, long n) {
    
    
		long res = 1, A = m;
		while (n != 0) {
    
    
			if ((n & 1) == 1) {
    
    
				res = res * A % p;
			}
			A = A * A % p;
			n >>= 1;
		}
		return res;
	}

	public static void main(String[] args) {
    
    
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextLong();
		p = sc.nextLong();
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
			System.out.println(pow(i, p - 2));
		}
	}
}

初始化1~n对p的逆元（N）

限制条件：适用于对同一个p求多个a的逆元

已知 p/i=k; p%i=r;
$$p=k\ast i+r；（0<r<p）$$
即：$$(k\ast i+r)\%p=0;$$
两边同时乘 inv( i ) * inv( r ):$$(k\ast i+r)\ast inv(i)\ast inv(r)\%p=0\ast inv(i)\ast inv(r)=0;$$
将i与r的逆元放入小括号：$$(k\ast inv(r)+inv(i))\%p=0;$$
分离出inv(i)$$inv(i)\%p=(-k\ast inv(r))\%p$$
$$=(-p/i\ast inv(p\%i))\%p$$
$$=p\ast inv(p\%i)\%p-p/i\ast inv(p\%i)\%p$$
$$=(p-p/i)\ast inv(p\%i)\%p$$
因为i的逆元inv(i)<p所以：$$inv(i)\%p=inv(i)=(p-p/i)\ast inv(p\%i)\%p$$

代码：

JAVA语言限制无法通过所有样例，换成C即可AC；

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    
	public static long inv[]=new long[3000005],n,p;
	public static void Init(){
    
    
		inv[1]=1;
		for(int i=2;i<=n;i++){
    
    
			inv[i]=(p-p/i)*inv[(int)p%i]%p;
		}
	}
	public static void main(String[] args) {
    
    
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		n=sc.nextInt();p=sc.nextInt();
		Init();
		for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
			System.out.println(inv[i]);
		}
	}
}