高斯消元概述
高斯消元法主要用于求解线性方程组，也可以求矩阵的秩、矩阵的逆等，是一个重要的数学方法。
其时间复杂度主要与方程组个数、方程组未知数个数有关，一般来说，时间复杂度为 O(n3)
线性方程组：有多个未知数，且每个未知数的次数均为一次，这样多个未知数所组成的方程组。
高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，直到得到类似 kx=b 的式子，然后逐一回代求解 x 向量
高斯消元步骤
枚举每一列c，
1、找到当前列绝对值最大的一行
2、用初等行变换(2) 把这一行换到最上面（未确定阶梯型的行，并不是第一行）
3、用初等行变换(1) 将该行的第一个数变成 11 （其余所有的数字依次跟着变化）
4、用初等行变换(3) 将下面所有行的当且列的值变成 0
经典例题
AcWing 883. 高斯消元解线性方程组
输入一个包含n个方程n个未知数的线性方程组。
方程组中的系数为实数。
求解这个方程组。
下图为一个包含m个方程n个未知数的线性方程组示例：
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含n+1个实数，表示一个方程的n个系数以及等号右侧的常数。
输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共n行，其中第i行输出第i个未知数的解，结果保留两位小数。
如果给定线性方程组存在无数解，则输出“Infinite group solutions”。
如果给定线性方程组无解，则输出“No solution”。
数据范围
1≤n≤100,
所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过100。
输入样例：
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
输出样例：
1.00
-2.00
3.00
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-6;//浮点数有误差，防止出现精度问题
int n;
double a[N][N];
int gauss()
{
int c, r;//列和行
for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
{
int t = r;
for (int i = r; i < n; i ++ )//从当前这一行开始，找到这一列绝对值最大的这一行
if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))//如果当前这一行的第c列的绝对值大于当前备选答案的绝对值
t = i;//备选答案更换
if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;//如果当前这一行是零
for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//将当前这一行（绝对值最大）换到最上面
for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];//将当前这一行的第一个数变为1
for (int i = r + 1; i < n; i ++ )//当前行的下面所有行的第c列全部消成零
if (fabs(a[i][c]) > eps)//第c列不为0时，进行操作
for (int j = n; j >= c; j -- )
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
r ++ ;// 这一行的工作做完，换下一行
}
if (r < n)// 说明剩下方程的个数是小于 n 的，说明不是唯一解，判断是无解还是无穷多解
{
// 因为已经是阶梯型，所以 r ~ n-1 的值应该都为 0
{
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][n]) > eps)//如果出现0 == 非零 ，误解
return 2;
return 1;//否则，无穷解
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )//倒着推出最终答案
for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];//因为只要得到解，所以只用对 b_i 进行操作，中间的值，可以不用操作，因为不用输出
return 0;//唯一解
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
cin >> a[i][j];
int t = gauss();
if (t == 0)//唯一解
{
for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf\n", a[i][n]);
}
else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");//无穷多组解
else puts("No solution");//无解
return 0;
}
AcWing 884. 高斯消元解异或线性方程组
输入一个包含n个方程n个未知数的异或线性方程组。
方程组中的系数和常数为0或1，每个未知数的取值也为0或1。
求解这个方程组。
异或线性方程组示例如下：
M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
…
M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]
其中“^”表示异或(XOR)，M[i][j]表示第i个式子中x[j]的系数，B[i]是第i个方程右端的常数，取值均为0或1。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含n+1个整数0或1，表示一个方程的n个系数以及等号右侧的常数。
输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共n行，其中第i行输出第i个未知数的解。
如果给定线性方程组存在多组解，则输出“Multiple sets of solutions”。
如果给定线性方程组无解，则输出“No solution”。
数据范围
1≤n≤100
输入样例：
3
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
输出样例：
1
0
0
异或运算相当于不进位的加法运算
过程
消成上三角矩阵
1.枚举列
2.找非零行
3.交换
4.下面消零
判断解的三种情况
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N][N];
int gauss()
{
int c, r;
for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )//按列进行枚举
{
int t = r; //找到非0行，用t进行存储
for (int i = r; i < n; i ++ )//从当前这行开始找到第c列非零
if (a[i][c])
t = i;
if (!a[t][c]) continue;//第c列为零，继续下一层循环
for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[r][i], a[t][i]);//找到该行后与第一行交换
for (int i = r + 1; i < n; i ++ )//把下面所有行的第c列都变为0
if (a[i][c])//如果不是0
for (int j = n; j >= c; j -- )
a[i][j] ^= a[r][j];
r ++ ;
}
if (r < n)
{
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (a[i][n])// 0 == 非零
return 2;//无解
return 1;
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )//从n - 1 行开始倒推，求解
for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
a[i][n] ^= a[i][j] * a[j][n];
return 0;
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
cin >> a[i][j];
int t = gauss();
if (t == 0)//唯一解
{
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << a[i][n] << endl;
}
else if (t == 1) puts("Multiple sets of solutions");//无穷解
else puts("No solution");//无解
return 0;
}