欧拉函数——数学知识（c++）

定义：欧拉函数表示1-N中与N互质的数的个数；
给定一个数n，求在[1,n]这个范围内两两互质的数的个数
对于这个范围内的每一个数，我们只要找到不超过这个数且与这个数互质的数的个数就可以了
欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.
在这里插入图片描述

欧拉函数的简单性质

1.欧拉函数是积性函数（非完全）；

积性函数：对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

完全积性函数：对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

2.除了N=2，φ（N）都是偶数；

3.当N为奇数时，φ（2*N）=φ（N）；

4.若N是质数p的k次幂，φ（N）=p^k-p(k-1)=(p-1)p^(k-1) 因为除了p的倍数之外，其他数都与N互质；

5.当N是质数时，φ（N）=N-1；

若将N表示成质因子分解式
在这里插入图片描述

所以我们有
6.φ(N)=N*(1-1/P1)(1-1/P2)…*(1-1/Pn).

求n的欧拉值

首先，欧拉函数是一个积性函数，当m,n互质时，φ(mn)=φ(m)∗φ(n)
根据唯一分解定理知 n=p1^a1∗p2^a2∗…∗px^ax
因此 φ(n)=φ(p1^a1)∗…∗φ(px^ax)

对于任意一项 φ(ps^as)=ps^as−ps^(as−1)
从定义出发 φ(ps^as)等于小于或等于ps^as的正整数中与ps^as互质的数的数目

从1到ps^as中共有ps^as个数字

其中与ps^as不互质的有ps,2ps,…,ps^as−1∗ps,共ps^as−1项

所以 φ(ps^as) = ps^as - ps^as−1=ps^as∗(1−1/ps)
因此

φ(n)=φ(p1^a1^)∗…∗φ(px^ax^)
=(p1^a1^−p1^a1−1^)∗…∗(px^ax^−px^ax−1^)
=p1^a1^∗(1−1/p1)∗p2^a2^∗(1−1/p2)∗…∗px^ax^∗(1−1/px)
=p1^a1^∗p2^a2^∗…∗px^ax^∗(1−1/p1)∗(1−1/p2)∗…∗(1−1/px)
=n∗∏i=1x(1−1/pi)
作者：Sundae
链接：https://www.acwing.com/solution/content/8702/
来源：AcWing

经典例题

AcWing 873. 欧拉函数
给定n个正整数ai，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义
1 ~ N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为ϕ(N)。
若在算数基本定理中，N=p1^a1p2^a2…pm^am，则：
ϕ(N) = N∗p1−1/p1 ∗ p2−1/p2 ∗ … ∗ pm−1/pm
输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数ai的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗10⁹
输入样例：

输出样例：

2
2
4

#include <iostream>

using namespace std;


int phi(int x)//一次性函数
{
    
    
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)//只有x%i=0才会进
        {
    
    
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;//一次性消除全部i
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);//有没有遗漏

    return res;
}


int main()
{
    
    
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
    
    
        int x;
        cin >> x;
        cout << phi(x) << endl;
    }

    return 0;
}

AcWing 874. 筛法求欧拉函数
质数ii的欧拉函数即为phi[i] = i - 1：1 ~ i−1均与i互质，共i−1个。

phi[primes[j] * i]分为两种情况：
① i % primes[j] == 0时：primes[j]是i的最小质因子，也是primes[j] * i的最小质因子，因此1 - 1 / primes[j]这一项在phi[i]中计算过了，只需将基数NN修正为primes[j]倍，最终结果为phi[i] * primes[j]。
② i % primes[j] != 0：primes[j]不是i的质因子，只是primes[j] * i的最小质因子，因此不仅需要将基数NN修正为primes[j]倍，还需要补上1 - 1 / primes[j]这一项，因此最终结果phi[i] * (primes[j] - 1)。
作者：番茄酱
链接：https://www.acwing.com/solution/content/3952/
来源：AcWing

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1000010;


int primes[N], cnt;
int euler[N];
bool st[N];


void get_eulers(int n)
{
    
    
    euler[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
    
    
        if (!st[i])
        {
    
    
            primes[cnt ++ ] = i;
            euler[i] = i - 1;  //1到p-1都和p互质
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
    
    
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0)//p[j]*i的所有质因子都出现在i的所有质因子当中
            {
    
    
                euler[t] = euler[i] * primes[j];//比i的所有质因子多了一个p[j]
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}


int main()
{
    
    
    int n;
    cin >> n;

    get_eulers(n);

    LL res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += euler[i];

    cout << res << endl;

    return 0;
}