一.二分图的基本知识
1.定义
G=(V, E)是一个无向图，若能将V分割成两个互不相关的点集X，Y，且图中每条边连接的两个顶点一个在 X中，另一个在 Y中，则称图G为二分图。
2.性质与判定
定理：当且仅当无向图G的每一个环的结点数均是偶数时，图G才是一个二分图。如果无环，相当于每的结点数为 0，故也视为二分图。
判定方法：dfs23染色法
过程：我们把X部的结点颜色设为2，Y部的颜色设为3。
从某个未染色的结点u开始跑dfs。把u染为0，枚举u的儿子v。如果v未染色，就染为与u相反的颜色，如果已染色，则判断u与v的颜色是否相同，相同则不是二分图。
如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。
代码如下：（链式前向星存图）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
const int M=N*N*2;
struct ppp{
int u,v,next;
}e[M];
int vex[N],vis[N],k,flag=1;
void add(int u,int v){
k++;
e[k].u=u;
e[k].v=v;
e[k].next=vex[u];
vex[u]=k;
}
void dfs(int u){
for(int i=vex[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(vis[v]==0){
vis[v]=vis[u]^1;
dfs(v);
}
else if(vis[v]==vis[u]){
flag=0;
}
}
}
int main(){
int n,m,u,v;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>u>>v;
add(u,v);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
vis[i]=2;
dfs(i);
}
}
return 0;
}
二.二分图最大匹配
定义二分图两部分的点分别称为左部点和右部点。
一张图的一个匹配是一些没有公共端点的边，
可以想象，对于一个二分图而言，显然一个匹配是对于每一个左部点，连一条边向一个右部点，或者不向右部点连边。但是每个左部点不会对应两个或以上的右部点。
如何去求最大匹配，即如何求出最多对能连接两部点的边，且每个点只能有一条边相连？
常用的二分图匹配算法是匈牙利算法
算法过程如下：
枚举每一个左部点u ，然后枚举该左部点连出的边，对于一个出点v，如果它没有被先前的左部点匹配，那么直接将u 匹配v，否则尝试让v的“原配”左部点去匹配其他右部点，如果“原配”匹配到了其他点，那么将u 匹配v，否则u 失配。
尝试让“原配”寻找其他匹配的过程可以递归进行。需要注意的是，在一轮递归中，每个右部点只能被访问一次。
代码实现如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
struct ppp{
int u,v,next;
}e[N*N];
int n1,n2,m;
int cp[N],vis[N],vex[N],k;
void add(int u,int v) {
k++;
e[k].u=u;
e[k].v=v;
e[k].next=vex[u];
vex[u]=k;
}
int dfs(int u,int tag) {
//tag为标记，保证每次dfs点不重复经过
if(vis[u]==tag)return 0;
vis[u]=tag;
for(int i=vex[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(!cp[v]||dfs(cp[v],tag)){
//如果喜欢的人单身，直接在一起
//如果喜欢的人有对象，让他对象再找一个对象；
//1.如果找得到，喜欢的人的对象换掉，喜欢的人成为自己的对象
//2.如果找不到，这个喜欢的人就没机会了(找下一个喜欢的人)
cp[v]=u;
return 1;
}
}
return 0;
}
int main() {
int u,v;
cin>>n1>>n2>>m;
for (int i=1;i<=m;i++) {
cin>>u>>v;
add(u,v);
}
int ans=0;
for (int i=1;i<=n1;i++) {
if (dfs(i, i))++ans;
//让左部点 i去找对象
}
cout<<ans;
return 0;
}
【个人理解】
模板化，重点是去建模：找到什么与什么匹配
例题1：让人跟床做完全匹配即可
例题2：让外籍飞行员和英国飞行员求最大匹配即可(更模板)
//例题1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100;
struct ppp{
int u,v,next;
}e[N*N*2];
int k,vex[N],vis[N],a[N],b[N],c[N],cp[N];
void add(int u,int v){
k++;
e[k].u=u;
e[k].v=v;
e[k].next=vex[u];
vex[u]=k;
}
int dfs(int u,int lag){
if(vis[u]==lag)return 0;
vis[u]=lag;
for(int i=vex[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(!cp[v]||dfs(cp[v],lag)){
cp[v]=u;
return 1;
}
}
return 0;
}
int main(){
int T,n,x;
cin>>T;
while(T--){
cin>>n;
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
memset(f,0,sizeof(f));
memset(c,0,sizeof(c));
memset(cp,0,sizeof(cp));
memset(e,0,sizeof(e));
memset(vex,0,sizeof(vex));
memset(vis,0,sizeof(vis));
k=0;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
cin>>x;
if(x==1&&a[j]==1)add(i,j);
//i认识j且j是学生(有床),才能睡j床
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(a[i]==1&&b[i]==1)c[i]=1;//回家的学生不要床
if(a[i]==1&&b[i]==0)add(i,i);//不回家的学生可以睡自己床
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(c[i]){
//不要床的人已经有地方睡了 ，匹配++
ans++;
continue;
}
if(dfs(i,i))ans++; //找到地方睡了，匹配++
}
if(ans==n)cout<<"^_^"<<endl;
else cout<<"T_T"<<endl;
}
return 0;
}
//例题2
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
struct ppp {
int u,v,next;
} e[N*N*2];
int n1,n2,m;
int cp[N],vis[N],vex[N],k;
void add(int u,int v) {
k++;
e[k].u=u;
e[k].v=v;
e[k].next=vex[u];
vex[u]=k;
}
int dfs(int u,int lag) {
if(vis[u]==lag)return 0;
vis[u]=lag;
for(int i=vex[u]; i; i=e[i].next) {
int v=e[i].v;
if(!cp[v]||dfs(cp[v],lag)) {
cp[v]=u;
return 1;
}
}
return 0;
}
int main() {
int n1,n2,m,u,v,c;
cin>>n1>>n2;//n1个外籍飞行员，n2-n1个英国飞行员
int ans=0;
while(1) {
cin>>u>>v;
if(u==-1)break;
add(u,v);
}
for(int i=1; i<=n1; i++) {
if(dfs(i,i))ans++;//让每名外籍飞行员去找搭档
}
cout<<ans<<endl;
for(int i=n1+1; i<=n2; i++) {
if(cp[i])cout<<cp[i]<<" "<<i<<endl;
}
return 0;
}
三.最小点覆盖数
对于一个二分图
求其的最小点覆盖数，即用最少的点覆盖所有的边。
定理：最小点覆盖数等于最大匹配数
【拓】
最小边覆盖=最大独立集=总节点数-最大匹配数