2021春季个人赛-12 补题

A. Will he Die?

题意： 给定一个坐标轴和$n,m$，初始位置为零点，每秒都有$\frac{1}{2}$的概率向左或者向右移动，求在$m$秒内走到$n$点的概率

分析： 组合数学+费马小定理求逆元
一共有$m$秒，故而有$2^m$种移动方案。

假设向着$m$点走了$x$，背离$m$点走了$y$，那么有
$$\{\begin{array}{c}x+y=n\\ x-y=m\end{array}$$
解出$x=\frac{m+n}{2}$
所以移动到m点的方案总数为$C_m^{\frac{m+n}{2}}$
故而总的概率为
$$\frac{C_m^{\frac{m+n}{2}}}{2^m}$$
题目要求我们$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7$ ，所以要用费马小定理求逆元

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=1e9+7,N=2e5+5;
LL t,n,m,fact[N],infact[N];
LL qmi(LL a,LL b){
    
    
    LL res=1;
    while(b){
    
    
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    
    
    fact[0]=infact[0]=1;
    for(LL i=1;i<N;i++) fact[i]=fact[i-1]*i%mod,infact[i]=infact[i-1]*qmi(i,mod-2)%mod;
    cin>>t;
    while(t--){
    
    
        cin>>n>>m;
        if(abs(n)%2!=m%2||abs(n)>m) cout<<0<<endl;
        else cout<<fact[m]*infact[m+n>>1]%mod*infact[m-(m+n>>1)]%mod*qmi(qmi(2,m),mod-2)%mod<<endl;
    }
}

B. Ran and the Lock Code

题意： 给定$n,a$，求最多有多少个不同的数$x_i$，使得$a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$
分析： 二分
假设二分的答案为$mid$，由贪心思想可知这些不同的数必定为首项为$1$，公差为$1$的等差数列，那么只需要判断$n-mid+$前$mid$项和能不能平均成$a$，二分最大的边界即可。
式子：$$\frac{mid(mid+1)}{2}+n-mid\le a\ast n$$
整理：
$$2\ast n-mid\le 2\ast a\ast n-mid\ast mid$$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,a,t;
int main(){
    
    
    cin>>t;
    while(t--){
    
    
        cin>>n>>a;
        LL l=1,r=n;
        while(l<=r){
    
    
            LL mid=l+r>>1;
            if(2*n-mid<=2*a*n-mid*mid) l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        cout<<l-1<<endl;
    }
}

C. Professor Agasa Lab

题意：
你有以下等式：
$$y=(x\ast a-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$$
如果你知道$y,a,b$的值，计算$x$
$$x=(y-b)\ast a^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$$
其中$a^{-1}$是$a$的逆元，当$\gcd (a,m)\equiv 1$时逆元存在。

分析： 数论+筛法求欧拉函数+找规律
找规律发现最后的结果是$1\sim n$中与$n$互质的个数乘互质数的最大值
前半部分是欧拉函数，后半部分显然就是$n-1$，因为相邻两个数一定互质。

代码：

#include<stdio.h>
using namespace std;
const int N=1e6;
typedef long long LL;
LL n,primes[N],euler[N],cnt,t;
bool st[N];
void get_eulers(int n){
    
    
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
    
    
        if(!st[i]){
    
    
            primes[cnt++]=i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
    
    
            int t=primes[j]*i;
            st[t]=1;
            if(i%primes[j]==0){
    
    
                euler[t]=primes[j]*euler[i];
                break;
            }
            euler[t]=(primes[j]-1)*euler[i];
        }
    }
}
int main(){
    
    
    get_eulers(N);
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
    
    
        scanf("%lld",&n);
        printf("%lld\n",(n-1)*euler[n]);
    }
}

G. Preparing for Exams

题意： 已知$k,l,m,n$，求$x,y$，$k=od，l=oa，m=S_{\Delta oda}，n=S_{\Delta obc}$

分析：
由圆幂定理得：
$$k\ast (k+x)=l\ast (y+l)\cdots ①$$
由正弦定理得：
$$S_{\Delta oda}=m=\frac{1}{2}\ast k\ast l\ast \text{sin∠doa}$$
$$\text{sin∠doa}=\frac{\frac{2n}{l+y}}{k+x}\cdots ②$$
带入$①②$得$$y=\sqrt{\frac{n\ast k^2}{m}}-l\cdots ③$$
将$③$带入$①$得$$x=\frac{l\ast (y+l)}{k}-k$$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
double k,l,m,n;
int main(){
    
    
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
    
    
        scanf("%lf%lf%lf%lf",&k,&l,&m,&n);
        double y=sqrt(n*k*k/m)-l;
        printf("%lf ",y);
        printf("%lf\n",l*(y+l)/k-k);
    }
}

H. Genta Game

题意： 给定一个长度为$n$的字符串和$q$和询问，每次询问将下标为$p$的字符修改为$c$，统计每次询问的回文串。
分析： $O(1)$维护对称串相等的个数。如果修改之前不相等，修改之后相等，那么总个数$+1$，否则不加。如果修改之前相等，修改之后不相等，那么总个数$-1$。每次判断总个数是否为$n/2$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
int t,n,q,p;
char c,s[N];
int main(){
    
    
    cin>>t;
    while(t--){
    
    
        LL res=0,cnt=0;
        cin>>n>>q>>s+1;
        for(int i=1;i<=n/2;i++){
    
    
            if(s[i]==s[n-i+1]) cnt++;
        }
        while(q--){
    
    
            int flag=0;
            cin>>p>>c;
            if(s[p]==c&&cnt!=n/2) continue;
            if(s[p]!=s[n-p+1]) flag=1;
            s[p]=c;
            if(s[p]==s[n-p+1]){
    
    
                if(cnt<n/2) cnt++;
                if(cnt==n/2) res++;
            }
            else if(flag){
    
    
                
            }
            else cnt--;
        }
        cout<<res<<endl;
    }
}