线性代数笔记 [2] —— 对极易混淆概念的梳理 — 线性相关与线性无关、极大线性无关部分组与秩与基础解系、向量空间的基与维数

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一般形式的线性方程组

给定数域$\mathsf{K}$上的线性方程组

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ a_{31}{x}_1+\cdots +a_{3n}{x}_n=b_3\\ .....................................\\ a_{n1}{x}_1+\cdots +a_{nm}{x}_n=b_m\end{array}(1)$$

一般形式：

$$\sum _{i=1}^n{x}_i{a}_i=x_1{a}_1+\cdots +x_n{a}_n=\beta (2)$$

如果方程有一组解

$$x_1=k_1，x_2=k_2，\dots ，x_n=k_n(k_i\in K)$$

代入（2）得

$$\beta =k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_n{a}_n,$$

即$\beta$能被向量组 $({\mathsf{a}}_1，{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{n}})$ 线性表出，则表示的系数就是方程组的一组解。于是，有以下两条结论：

1. 方程组（1）有解的充分必要条件是：向量 $\beta$ 能被向量组 $({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{n}})$ 线性表示；

β ∈ a + N ( A ) , N ( A ) = { y ∣ A y = 0 } \mathsf{\color{red}\beta\in a+N(A),N(A)=\lbrace y|Ay=0 \rbrace} β∈a+N(A),N(A)={ y∣Ay=0}

3. 方程组（1）的解的数量等于 $\beta$ 被$({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{n}})$线性表示表法的种数，即属于矩阵列空间里的列向量的排列组合。

$$\mathsf{d}\mathsf{i}\mathsf{m}\mathsf{N}(\mathsf{A})、\mathsf{d}\mathsf{i}\mathsf{m}\mathsf{C}(\mathsf{A})$$

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线性相关与线性无关

定义 给定数域${\mathsf{K}}^{\mathsf{n}}$中一个向量组$({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}})(\mathsf{A}),$ 如果存在K内不全为零的一组数${\mathsf{k}}_1,{\mathsf{k}}_2,\dots ,{\mathsf{k}}_{\mathsf{s}}$，使

$${\mathsf{k}}_1{\mathsf{a}}_1+{\mathsf{k}}_2{\mathsf{a}}_2+\cdots +{\mathsf{k}}_{\mathsf{s}}{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}=0$$

则称向量组（A）线性相关（Linear Dependence）；如果由 >$({\mathsf{k}}_1{\mathsf{a}}_1+{\mathsf{k}}_2{\mathsf{a}}_2+\cdots +{\mathsf{k}}_{\mathsf{s}}{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}=0)$ 推出

$${\mathsf{k}}_1={\mathsf{k}}_2=\cdots ={\mathsf{k}}_{\mathsf{s}}=0$$

则称向量组（A）线性无关（Linear independence）。

注意：

1. 从字面意思出发，“$相关$”、”$无关$”一般指两个或者多个事物之间有无某种关系，由此极易产生误解，以为“线性相关（无关）是指两个向量组之间有无线性关系”，例如常有人说“向量 $\alpha$ 与向量组 ${\beta }_1、{\beta }_2$ 线性相关”等，就是犯了这个错误。实际上，一个向量组 $({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}})$ 线性相关（无关）指的是这个向量组的内部结构，或者说齐次线性方程组 $(x_1{a}_1+x_2{a}_2+\cdots +x_n{a}_n=0)$ 有无非零解，与其他向量组不相干，说“向量$\alpha$与向量组${\beta }_1、{\beta }_2$线性相关”是没有意义的，实际 $\beta$ 也是由向量组 $({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s)$ 组成。
2. 一个向量组 $({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}})$ 线性相关，是指存在$K$内不全为零的数 $(k_1,k_2,\dots ,k_s)$ 使 $({\mathsf{k}}_1{\mathsf{a}}_1+{\mathsf{k}}_2{\mathsf{a}}_2+\cdots +{\mathsf{k}}_{\mathsf{s}}{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}=0)$ 。这里说的是$({\mathsf{k}}_1,{\mathsf{k}}_2,\dots ,{\mathsf{k}}_{\mathsf{s}})$“不全为零”，即其中至少有一个非零，但可能有若干个为零，并不一定“全不为零”。
3. 一个向量组 $({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}})$ 线性无关，是指由 $({\mathsf{k}}_1{\mathsf{a}}_1+{\mathsf{k}}_2{\mathsf{a}}_2+\cdots +{\mathsf{k}}_{\mathsf{s}}{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}=0)$ 推出 $({\mathsf{k}}_1={\mathsf{k}}_2=\cdots ={\mathsf{k}}_{\mathsf{s}}=0)$ 。前者是已知条件，后者是需要证明的结论。前后两者的因果关系不可颠倒。
4. 向量组 $({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}})(\mathsf{s}\ge 2)$ 线性相关的充分必要条件是有一个向量能被其余向量线性表出，但不一定其中任意一个向量都能被线性表出。

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线性极大无关部分组与秩与基础解系

定义 给定$K^n$内向量组$a_1,a_2,\dots ,a_s(A)$，如果其中的一个部分组$a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{ir}(B)$满足以下两个条件：

• 向量组（A）中每一个向量都能被（B）线性表出；
• 向量组（B）线性无关。

则称向量组（B）是向量组（A）的一个极大线性无关部分组（ Maximal linearly independent system ）。向量组（B）中的向量个数称为向量组（ A）的秩( Rank )。一个向量组可以有多个极大线性无关部分组，如同我们看待一个事物有多个不同的角度.

｜齐次线性方程组的解

齐次线性方程组的解具有以下性质：

1. 若 ${\eta }_1=({\mathsf{k}}_1,{\mathsf{k}}_2,\dots ,{\mathsf{k}}_{\mathsf{n}}),{\eta }_2=({\mathsf{l}}_1,{\mathsf{l}}_2,\dots ,{\mathsf{l}}_{\mathsf{n}})$ 是齐次方程组的两个解向量，则 ${\eta }_1+{\eta }_2=({\mathsf{k}}_1+{\mathsf{l}}_1,{\mathsf{k}}_2+{\mathsf{l}}_2,\dots ,{\mathsf{k}}_{\mathsf{n}}+{\mathsf{l}}_{\mathsf{n}})$ 也是方程组的解；$加法$
2. 若 $\eta =({\mathsf{k}}_1,{\mathsf{k}}_2,\dots ,{\mathsf{k}}_{\mathsf{n}})$ 是齐次方程组的一个解向量，则对 $\eta$ 内任意数 ${\mathsf{k}}_{\mathsf{i}}$ ，有 $\mathsf{k}\eta =(\mathsf{k}{\mathsf{k}}_1,\mathsf{k}{\mathsf{k}}_2,\dots ,\mathsf{k}{\mathsf{k}}_{\mathsf{n}})$ 也是方程组的解。$数乘$

从上述两条性质立即可推出：设 $({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{\mathsf{s}})$ 是方程组的一组解向量，那么，对K内任意一组数 $({\mathsf{k}}_1,{\mathsf{k}}_2,\dots ,{\mathsf{k}}_{\mathsf{l}}),$ 线性组合 $(k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2,\dots ,k_l{\eta }_l)$ 仍为方程组的一个解向量。

定义 齐次线性方程的一组解向量 $({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{\mathsf{s}})$ ，如果满足如下条件：

• ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{\mathsf{s}}$ 线性无关；
• 方程组的任一解向量都可被 $({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s)$ 都线性表出。

那么，称 $({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{\mathsf{s}})$ 是方程组的一个基础解系（Basic solution system）。

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向量空间的基与维数

定义 设$U$是$K^n$的一个子空间，如果$(a_1,a_2,\dots ,a_s\in U)$，并满足以下两个条件：

• $(a_1,a_2,\dots ,a_s)$ 线性无关；
• U中的每一个向量都可以由 $(a_1,a_2,\dots ,a_s)$ 线性表出。

那么，称 $({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}})$ 是 $U$ 的一个基(basis)。

在基的定义上，我们可以进一步定义维数的概念。

定义 数域$K^n$的非零子空间U的一个基所包含向量的个数称为U的维数，记作$dimU$。由于 ${ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n$ 是 $K^n$ 的一个基，因此 $dim{K}^n=n$.这就是为什么把$K^n$ 称为n维向量空间的原因. <零空间的维数被规定为零.>
一个线性空间类似前面的极大线性无关部分组，也可以有多组不同的基，好比沸腾的水或者常温状态下的水，本质并没有什么不同. 又或者对于一只泥土烧制的“鸟”，又或对于画家笔下的鸟，两者都是概念上的鸟，概念的统一下实质的表现形式不同.

｜基变换与坐标变换

命题 在数域 $K^n$ 上的n维线性空间 $V$ 内给定一组基 $({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}}),$ T是K上一个n阶方阵，命

$$({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{\mathsf{n}})=({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}})T$$则有

• 如果 $({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{\mathsf{n}})$ 是V的一组基，则T可逆；
• 如果T可逆，则 $({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{\mathsf{n}})$ 是V的一组基.

设n维线性空间V中一个向量 $\alpha$ 在第一组基$({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n)$ 下的坐标为 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n),$ 有

$$\alpha ={\left(\begin{array}{c}{x}_1{ϵ}_1\\ +\\ ⋮\\ +\\ x_n{ϵ}_n\end{array}\right)}^{\mathsf{T}}=({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}})\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right].$$

又设 $\alpha$ 在第二组基 $({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{\mathsf{n}})$ 下的坐标 $({\mathsf{y}}_1,{\mathsf{y}}_2,\cdots ,{\mathsf{y}}_{\mathsf{n}}),$ 有

$$\alpha ={\left(\begin{array}{c}{y}_1{\eta }_1\\ +\\ ⋮\\ +\\ y_n{\eta }_n\end{array}\right)}^T=({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n)\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right].$$

两组基间的过渡矩阵为T，即

$$({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{\mathsf{n}})=({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}})\mathsf{T}.$$

令

$$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right].$$

那么

$$\alpha =({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}})\mathsf{X}=({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{\mathsf{n}})\mathsf{Y}.$$

以关系式

$$({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{\mathsf{n}})=({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}})\mathsf{T}$$

代入，得

$$({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}})\mathsf{X}=[({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}})\mathsf{T}]\mathsf{Y}=({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_{\mathsf{n}})(\mathsf{T}\mathsf{Y})$$

由于 $({ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_n)$ 是一组基，线性无关，它们的两个线性组合相等时，对应的系数相等，故得

$$\mathsf{X}=\mathsf{T}\mathsf{Y}.$$

这就是线性变换坐标公式.

｜两道例题

$e.g.1$ 已知线性变换 $\sigma$ 在基 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 下的对应矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$ 求 $\sigma$ 在基 $({\alpha }_3,{\alpha }_2,{\alpha }_1)$ 下的对应矩阵.

解：

$$\sigma ({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

其中

$$\sigma ({\alpha }_1)={\alpha }_1+4{\alpha }_2+7{\alpha }_3;$$

$$\sigma ({\alpha }_2)=2{\alpha }_1+5{\alpha }_2+8{\alpha }_3;$$

$$\sigma ({\alpha }_3)=3{\alpha }_1+6{\alpha }_2+9{\alpha }_3.$$

将其重新进行组合有

$$\sigma ({\alpha }_3,{\alpha }_2,{\alpha }_1)=({\alpha }_3,{\alpha }_2,{\alpha }_1)\underset{\sigma 在{\alpha }_3,{\alpha }_2,{\alpha }_1下的对应矩阵}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}9& 8& 7\\ 6& 5& 4\\ 3& 2& 1\end{array}\right)}}$$

$e.g.2$ 在 $K^3$ 中给定两组基
$${ϵ}_1=(1,0,-1),{ϵ}_2=(2,1,1),{ϵ}_3=(1,1,1)$$ $${\eta }_1=(0,1,1),{\eta }_2=(-1,1,0),{\eta }_3=(1,2,1)$$ 求两组基之间的过渡矩阵T.

解： $$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right].$$

将AB组合做初等行变换:
$$(AB)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 2& 1& ⋮& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& ⋮& 1& 1& 2\\ -1& 1& 1& ⋮& 1& 0& 1\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& ⋮& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& ⋮& -1& -3& -2\\ 0& 0& 1& ⋮& 2& 4& 4\end{array}\right].$$

故过渡矩阵 $T$ 为

$$T=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& -3& -2\\ 2& 4& 4\end{array}\right]$$

核心思想：AB <经过初等行变换> ET

至此，本人已经对于上述七个概念作出了应该说比较清晰的梳理，悄悄再告诉你一句最好背下来。为什么呢？因为“稳定清晰、可滑动的概念”是搭建新框架体系的积木。

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概念与概念之间对应的范畴（重点）

相信细心的朋友在仔细阅读的时候可以感受到，这七个概念定义比较类似，在学习记忆过程中混淆。对此，必须清楚概念与概念之间对应的范畴：

1. 线性相关与线性无关对应线性方程组，表示了线性方程组内部的“混乱程度”。
2. 极大线性无关部分组对应向量组，引入它的目的就是用一个线性无关部分组来取代原来比较复杂的向量组。一个向量组的极大线性无关部分组不是唯一的，但其中向量个数是确定的。这是因为它的任何两个极大线性无关部分组都能相互线性表示，又都线性无关，可以立即推出他们包含的向量个数相同。
3. 基与维数对应向量空间。“基”的定义相比上面的定义可以从几何角度作出比较简洁明了的定义，即“基”是关于张成（span）该空间的线性无关的向量的集合。「神课：线性代数的本质」
4. 扩展：向量组 $({\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}})$ 的一个极大线性无关部分组是关于该向量组生成的子空间$<{\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}>$的一个基，有 $\mathsf{d}\mathsf{i}\mathsf{m}<{\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}>=\mathsf{r}\mathsf{a}\mathsf{n}\mathsf{k}<{\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}>$ 。这是我们经常看到的，但是为什么呢？或者说两者在数值上等价，但真正的区别是什么？真正的区别在于前者是 $<{\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}>$ 生成的子空间的维数，等于该子空间的一个基所含向量的个数。后者是 $<{\mathsf{a}}_1,{\mathsf{a}}_2,\dots ,{\mathsf{a}}_{\mathsf{s}}>$ 的秩，它等于这个向量组的一个极大线性无关向量组所含的向量的个数。维数是对子空间而言，秩是对向量组而言。子空间有无穷多个向量，而向量组只有有限多个向量。

（理解上述的的四个区别条列至关重要！！！）

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参考资料

1. 《高等代数学习指导书》 丘维声著
2. 《高等代数》蓝以中著
3. 神课「线性代数的本质」（十三集）
4. 个人清华代数公开课学习笔记

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文章更新记录

• 基变换与坐标变换。 「2020.5.12 19:44」
• 文章版式微微调整。 「2020.5.28. 16:43」
• 文章版式微微调整。 「2020.11.7 11:28」
• 文章中个别错别字进行修改。 「2020.12.5 10:58」
• 版式微微调整。 「2020.12.22 19:21」
• 修改了部分内容，独立出一些内容。 「2021.1.24 19:04」