线性代数笔记 [1] —— 从数列求和引出线性方程组（第一篇）

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经典数列求和题

$$\sum _{i=1}^n{n}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$$

这是一道的经典的高中数学测试题。对于全体自然数的平方我们可以求出和的数值，那么我们能否求出对于所有自然数的任意 $k$ 次方之和？

$$\sum _{i=1}^n{n}^k=1^k+2^k+...+n^k=?$$

换个角度思考，对次幂 $K$ 取某个确定的数值时，我们能否有一套通用的计算方式？下面我们从最开始的平方开始推导。

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解法1：表格法 —— 从自然数和到自然数平方和

用 $A(n)$ 、$B(n)$、$C(n)$ 分别表示自然数、自然数平方、自然数立方的前 n 项和，我们以全体自然数前 n 项之和

$$A(n)=\frac{1}{2}n(n+1)$$

为研究问题的出发点进行较小数值的计算。

n	1	2	3	4	5	6
A(n)	1	3	6	10	15	21
B(n)	1	5	14	30	55	91
C(n)	1	9	36	100	225	441

从表格内的数据可以观察到，对于每一个 $C(n)$ 恰好为 $A(n)$ 的平方，可推测出

$$C(n)=[A(n){]}^2=\frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2$$

受以上公式的启发，为了得到 $B(n)$ 的公式，我们可以计算 $B(n)$ 与$A(n)$ 的比值

n	1	2	3	4	5	6
$\frac{B(n)}{A(n)}$	1	$\frac{5}{3}$	$\frac{7}{3}$	$\frac{9}{3}$	$\frac{11}{3}$	$\frac{19}{3}$

由数值的比值计算结果，可以推测出

$$\frac{B(n)}{A(n)}=\frac{1}{3}(2n+1).$$

于是，自然地得到全体自然数平方和公式

$$B(n)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

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解法2：函数法 —— $f(n)-f(n-1)=n^2$

所有自然数的二次幂前 $N$ 项之和减去前 $N-1$ 项之和为

$$S_n-S_{n-1}=n^2$$

若函数 $f(n)$ 满足 $f(n)-f(n-1)=n^2$，存在

$$S_n=[f(1)-f(0)+\cdots +f(n)-f(n-1)]=f(n)-f(0)$$

分析：

1. 当$f(0)=0$时，$S_n=f(n)$；
2. 当$f(n)$是多项式，$f(n)-f(n-1)$也是多项式且次数降一。（关键！！！）

解：设存在函数

$$S_n=f(n)=an+b{n}^2+c{n}^3$$

满足 $n^2=f(n)-f(n-1)$，有

$$\sum _{i=1}^n{n}^2=f(n)-f(n-1)=(a-b+c)+(2b-3c)n+3c{n}^2$$

由上式可推导出方程组
$$\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 2b-3c=0\\ 3c=1\end{array}$$

解得
$$c=\frac{1}{3}，b=\frac{1}{2}，a=\frac{1}{6}$$

故

$$S_n=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$$

一通百通，按照以上方法求出全体自然数三次幂之和$\sum _{i=1}^n{n}^3$，所有自然数四次幂之和$\sum _{i=1}^n{n}^4$，乃至K次幂之和$\sum _{i=1}^n{n}^K$。

二次之和用$S_n=f(n)=a_{1}n+a_2{n}^2+a_n{n}^3$相减。
三次之和用$S_n=f(n)=a_{1}n+a_2{n}^2+a_3{n}^3+a_4{n}^4$相减。
四次之和用$S_n=f(n)=an+a_1{n}^2+a_3{n}^3+a_4{n}^4+a_5{n}^5$相减 。
$⋮$

以 $\sum _{i=1}^n{n}^4=1^4+2^4+...+n^4$模仿求解。

解： $S_n=f(n)=a_{1}n+a_2{n}^2+a_3{n}^3+a_4{n}^4+a_5{n}^5$，

推出

$$\sum _{i=1}^n{n}^4=f(n)-f(n-1)$$

即
$$\{\begin{array}{l}{a}_1-a_2+a_3-a_4+a_5=0\\ 2a_2-3a_3+4a_4-5a_5=0\\ 3a_3-6a_4+10a_5=0\\ 4a_4-10a_5=0\\ 5a_5=1\end{array}(倒推求解，余下内容不做分析）$$

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参考资料

• 北京航空航天大学线性代数启蒙课 李尚志教授
• “解法1:表格法” 一节源自《数学思想概论4:数学中的归纳推理》P143和P144

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文章更新记录

• 首次在CSDN使用 markdown 极其不适应，耗费4小时。「2020.4.15 23:05」
• 初步对文章内容及版式做出大范围的修改。 「2021.3.5 17:29」
• 增加 “解法1：表格法（从 $n$ 到 $n^3$）” 一节。「2021.3.5 18:19」
• 增加“参考资料”一节。 「2021.3.5 22:21」
• 修改了几处数值错误。 「2021.3.6 10:17」