第三章，矩阵，06-初等变换与初等矩阵

- 标准形
- 初等矩阵
- - 定义
  - 性质
  - - 可逆
- 等价矩阵
- - 相关定义
  - 性质
  - 定理1
  - 定理2
  - 推论

玩转线性代数(18)初等变换与初等矩阵
的笔记

标准形

初等行变换

对矩阵的行进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。

初等列变换

对矩阵的列进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。

初等变换

初等行变换与初等列变换统称初等变换。

行阶梯形矩阵

初等行变换，至如下形式:

(1) 如果有零行，则位于矩阵的下方;

(2) 各非零行的首非零元的列标随着行标的增大而严格增大.

行最简形

首非零元为1和首非零元所在列其它元素为0的行阶梯形矩阵

标准形

标准形是对矩阵进行初等变换(一般在行最简形的基础上再进行初等列变换)将A化成如下形式：
$F=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $\textbf{0}$ 为零矩阵， $\leq m, r \leq n.$

初等矩阵

对矩阵进行一次初等变换相当于左乘了一个将单位矩阵进行了同样变换的矩阵。

定义

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
初等矩阵共有三种类型：

互换两行或两列
互换E中第i,j两行/列的初等矩阵用 $E_n(i,j)$ 表示
数乘
以数 $k(\neq 0)$ 乘E的第i行/列( $r_i×k$ ),用 $E_n(i(k))$ 表示。
倍加
以k乘E的第j行加到第i行上( $r_i+kr_j$ ),与以k乘E的第i列加到第j行上，
用 $E_n(ij(k))$ 表示。
参见原文

性质

设A是一个m×n矩阵，
对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的n阶初等矩阵。
对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

可逆

初等矩阵的逆变换就是对自身再做一次同类型的初等变换得到的矩阵。
$|E(i,j)|=-1;|E(i(j))|=k(k\neq 0);|E(i,j(k))|=1$ ，所以初等矩阵均可逆，由于
$\\ E(i(k))E(i(\frac{1}{k}))=E,\\ E(ij(-k))E(ij(k))=E(ij(k))E(ij(-k))=E$
有：
$E(i,j)^{-1}=E(i,j), \\ E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k})),\\ E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k))$

等价矩阵

性质

反身性： $\sim A$ ;
对称性：若 $A\sim B$ ,则 $\sim A$ ;
传递性：若 $A\sim B,B \sim C$ ,则 $\sim C$

形式最简单的等价矩阵是标准形

定理1

设A与B为 $m \times n$ 矩阵，则

$A^r \sim B \Leftrightarrow p_l\cdots p_1 A=B \Leftrightarrow$ 存在m阶可逆矩阵P，使 $P A = B$ .
$A^c \sim B \Leftrightarrow$ 存在n阶可逆矩阵Q，使 $A Q = B$ .
$\sim B \Leftrightarrow$ 分别存在m、n阶可逆矩阵P、Q，使 $P A Q = B$ .

定理2

设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵 $P_1，P_2 ，\cdots ，P_l$ ，使 $A=P_1P_2 \cdots P_l$
证
对可逆矩阵A进行初等变换，化为最简形F，
$p_1p_2...p_sAq_1q_2...q_t=F=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_n$ ，故
$A=p_z^{-1}p_{z-1}^{-1}...p_1^{-1}\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_n q_t^{-1}q_{t-1}^{-1}...q_1^{-1}$
因为A可逆，所以F主对角线应没有零元，所以F=E。
所以
$A=p_z^{-1}p_{z-1}^{-1}...p_1^{-1} q_t^{-1}q_{t-1}^{-1}...q_1^{-1}$
例见原文

推论

方阵A可逆的充要条件是 $A^c \sim E$ 或 $A^r \sim E$
证明思路：
A可逆，则 $A=P_1P_2 \cdots P_l$ ,所以A与E行等价或列等价；A与E行等价，则有 $A=P_1P_2 \cdots P_lE$ ,可逆。列等价也一样。