Description

已知两个已经排好序（非减序）的序列X和Y，其中X的长度为m，Y长度为n，
现在请你用分治算法，找出X和Y的第k小的数，算法时间复杂度为O(max{logm, logn})。

此题请勿采用将序列X和Y合并找第k小的O(m+n)的一般方法，要充分利用X和Y已经排好序的这一特性。

输入格式

第一行有三个数，分别是长度m、长度n和k，中间空格相连（1<=m,n<=100000; 1<=k<=m+n）。
第二行m个数分别是非减序的序列X。第三行n个数分别是非减序的序列Y。

输出格式

序列X和Y的第k小的数。

输入样例

5 6 7
1 8 12 12 21
4 12 20 22 26 31

输出样例

提示

假设：X序列为X[xBeg…xEnd]，而Y序列为Y[yBeg…yEnd]。

将序列X和Y都均分2段，即取X序列中间位置为 xMid (xMid = xBeg+(xEnd-xBeg)/2)，也同理取序列Y中间位置为yMid。
比较X[xMid]和Y[yMid]的大小，此时记录X左段和Y左段元素个数合计为halfLen，即halfLen = xMid-xBeg+yMid-yBeg+2。

当X[xMid] < Y[yMid]时，在合并的数组中，原X[xBeg…xMid]所有元素一定在Y[yMid]的左侧，
（1）若k < halfLen，则此时第k大的元素一定不会大于Y[yMid]这个元素，
故以后没有必要搜索 Y[yMid…yEnd]这些元素，可弃Y后半段数据。
此时只需递归的对X序列+Y序列的前半段，去搜索第k小的数。

（2）若k >= halfLen，则此时第k大的元素一定不会小于X[xMid]这个元素，
故以后没有必要搜索 X[xBeg…xMid]这些元素，可弃X前半段数据。
此时只需递归的对X序列的后半段+Y序列，去搜索第 k-(xMid-xBeg+1）小的数。
当X[xMid] >= Y[yMid]时，在合并的数组中，原Y[yBeg…yMid]的所有元素一定在X[xMid]的左侧，
（1）若k < halfLen，则此时第k大的元素一定不会大于X[xMid]这个元素，
故以后没有必要搜索 X[xMid…xEnd]这些元素，可弃X后半段数据。
此时只需递归的对X序列的前半段+Y序列，去搜索第k小的数。

（2）若k >= halfLen，则此时第k大的元素一定不会小于Y[yMid]这个元素，
故以后没有必要搜索 Y[yBeg…yMid]这些元素，可弃Y前半段数据。
此时只需递归的对X序列+Y序列的后半段，去搜索第 k-(yMid-yBeg+1）小的数。

递归的边界，如何来写？

if (xBeg > xEnd) return Y[yBeg + k - 1]; //X序列为空时，直接返回Y序列的第k小元素。
if (yBeg > yEnd) return X[xBeg + k - 1]; //Y序列为空时，直接返回X序列的第k小元素。

效率分析：

T(m,n)表示对长度为m的有序的X序列和长度为n的有序的Y序列，搜索第k小元素的复杂度。
T(m,n)=1 m=0或n=0
T(m,n) <= max{T(m/2,n), T(m,n/2)} + O(1)

则T(m,n) = O(max{logm, logn})

代码实现

基本上我写这个题目的想法都写在注释里面的，读者可以好好看看。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>

using namespace std;


int fun(int x[],int y[],int xbeg,int xend,int ybeg,int yend,int k)
{
    
    
    //X序列为空时，直接返回Y序列的第k小元素。
    if (xbeg > xend) return y[ybeg + k - 1];
    //Y序列为空时，直接返回X序列的第k小元素。
    if (ybeg > yend) return x[xbeg + k - 1];

    int xmid = (xbeg+xend)/2;//x的中间位置
    int ymid = (ybeg+yend)/2;//y的中间位置
    int halfLen = xmid-xbeg+ymid-ybeg+2;//x和y的左段元素个数之和
    if (x[xmid]<y[ymid])
    {
    
    
        if (k<halfLen)
        {
    
    
            //此时第k大的元素一定小于Y[yMid]这个元素，所以要mid-1
            //此时只需递归的对X序列+Y序列的前半段，去搜索第k小的数。
            fun(x,y,xbeg,xend,ybeg,ymid-1,k);

        }
        else
        {
    
    
            //此时第k大的元素一定大于X[xMid]这个元素，所以要mid+1
            //此时只需递归的对X序列的后半段+Y序列,去搜索第 k-(xMid-xBeg+1）小的数。
            fun(x,y,xmid+1,xend,ybeg,yend,k-(xmid-xbeg+1));
        }
    }
    else
    {
    
    
        if(k<halfLen)
        {
    
    
            //此时第k大的元素一定小于X[xMid]这个元素，mid-1
            //此时只需递归的对X序列的前半段+Y序列，去搜索第k小的数。
            fun(x,y,xbeg,xmid-1,ybeg,yend,k);
        }
        else
        {
    
    
            //此时第k大的元素一定大于Y[yMid]这个元素，mid+1
            //此时只需递归的对X序列+Y序列的后半段，去搜索第 k-(yMid-yBeg+1）小的数。
            fun(x,y,xbeg,xend,ymid+1,yend,k-(ymid-ybeg+1));
        }
    }
}

int main()
{
    
    
    int m,n,k;
    scanf("%d %d %d",&m,&n,&k);
    int x[m],y[n];
    int halfLen = m+n;
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
    
    
        scanf("%d",&x[i]);
    }
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
    
    
        scanf("%d",&y[i]);
    }
    printf("%d",fun(x,y,0,m-1,0,n-1,k));
    return 0;
}

17082 两个有序数序列中找第k小（优先做）

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