欧拉函数原理及练习

问题引入

现在有一个问题，给定一个数n，求出1～n和n互质的数的个数

• 暴力做法，for一遍，求每一个数和n的GCD，如果结果为1，即为合法答案。这种做法应该说在n比较小的时候还是可以的，如果n比较大，还不够好

欧拉函数原理

• 欧拉函数可以解决这个问题，设f为欧拉函数，f(x)的含义就是1～x与x互质的元素个数
• 首先要知道欧拉函数是一个积性函数，什么是积性函数？顾名思义就是形如
  $$f(xy)=f(x)\times f(y)$$这样的就叫做积性函数，如何证明？我暂时不想看，等数论书到了再补充吧，暂时知道这是个积性函数就行，也没影响
• 那么算术基本定理是我们都知道的，就是大于一的数总可以写成
  $$p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}......p_k^{e_k}$$的形式，其中p是质数，那么
  $$f(p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}......p_k^{e_k})=f(p_1^{e_1})\times ...\times f(p_k^{e_k})$$
  考虑p₁的e₁次方这个数，小于它的正整数有多少数和它互质呢？考虑有多少不互质的，显然所有p₁的倍数的数都是这样的（相等不算），那么有多少个这样的数呢？具体如下
  $$p_1、2p_1...p_1^{e_1-1}$$
  因为
  $$p_1^{e_1}=p_1\times p_1^{e_1-1}$$
  所以上面一共有p₁^(e₁ - 1)个数，这样
  $$f(p_1^{e_1})\times ...\times f(p_k^{e_k})=p_1^{e_1-1}\times ...\times p_k^{e_k-1}$$$$=p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times ...\times p_k^{e_k}\times (1-\frac{1}{p_1})\times ...\times (1-\frac{1}{p_k})$$$$=n\times (1-\frac{1}{p_1})\times ...\times (1-\frac{1}{p_k})$$
  用数学符号表示就是
  $$euler(n)=n\times \prod _{k=1}^k(1-\frac{1}{p_k})$$
  这样就得到了欧拉函数的公式

练习

模板题

• 说多了，上道题试一试，这就是所谓的水题，用来学习算法再合适不过
• 思路就是唯一分解定理分解n，然后求欧拉函数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 100;
const double eps = 1e-6;
int Data[MAXN];
ll euler(ll n){
    
    
    ll ans = n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
    
    
        if(n % i == 0){
    
    
            ans = ans / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}
int main(){
    
    
    ll n;
    while(cin >> n && n){
    
    
        cout << euler(n) << "\n";
    }
    return 0;
}

题目链接
然后看一下这道题，题目意思很好理解

• 首先当n为1的时候，答案为0
• 当n为2时候，答案为3
• n大于2的时候，很容易发现横纵坐标互质时候是能看见的，因为如果不互质，那就说明它处于一条直线的后面位置，前面肯定被挡住了，所以分成两半来求解，分别求欧拉函数即可，特殊情况注意一下

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 100;
const double eps = 1e-6;
int Data[MAXN];
int euler(int n){
    
    
    int ans = n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
    
    
        if(n % i == 0){
    
    
            ans = ans / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}
int main(){
    
    
    int n;
    int ans = 3;
    cin >> n;
    if(n == 1) cout << 0;
    else if(n == 2) cout << 3;
    else{
    
    
        for(int i=2;i<n;i++){
    
    
            ans += 2 * euler(i);
        }
        cout << ans;
    }
    return 0;
}