阿克曼函数的计算

上图为阿克曼函数的定义，根据函数解析式，我们可以很容易的写出递归式

def akm(m, n):
    if m == 0:
        return n + 1
    elif m > 0 and n == 0:
        return akm(m-1, 1)
    elif m > 0 and n > 0:
        return akm(m - 1, akm(m, n - 1))
        
m, n = map(int, input().split())

对于比较小的n值，m=1或2的情况，递归式是很好的，n值稍微大一些，我们也可以通过设置递归深度的方法求出答案

sys.setrecursionlimit(10000000)

但是，如果对于n值很大，或者m达到3，再去求解，递归深度就会大到我们无法忍受，这个时候，我们只能按照数学方法去求解这个问题

• 对于m=0,1,2,3我们进行分别讨论

m=0

这个时候显然有akm（0，n） = n+1

m=1

此时我们求解对象是akm（1，n），n=0时，根据函数，有akm（1,0）=akm（0,1）=2；如果n！=0，那么akm（1，n）=akm（0，akm（1，n-1）），注意此时我们可以带入函数得到akm（1，n）=akm（1，n-1）+1
这样我们就得到了后一项与前一项的递推关系，所以m=1这种情况阿克曼函数构成以2为首项，1为公差的等差数列，注意数列从0开始。这样我们求此数列的通项公式，可以得到akm（1，n）=n+2

m=2

此时我们的求解对象是akm（2，n），n=0时，根据函数，利用m=1的结论，有akm（2,0）=akm（1,1）=3，当n！=0时，利用m=1的结论，有akm（2，n）=akm（1，akm（2，n-1））=akm（2，n-1）+2，这样又构成了一个等差数列，同样求得akm（2，n）=2*n+3

m=3

此时我们的求解对象是akm（3，n），n=0时，根据函数，利用m=2的结论，有akm（3,0）=akm（2，1）=5，当n！=0时，利用m=1的结论，有akm（3，n）=akm（1，akm（3，n-1））=2akm（3，n-1）+3，求这个通项，利用高中的等比数列知识我们容易的想到可以两边同时加上3，得到akm（3，n）+3=2（akm（3，n-1）+3），这样就构成了一个等比数列，利用数列知识，求得akm（3，n）=2ⁿ⁺³-3

• 如果我们想求更大的m，答案已经非常巨大，想求得通项公式似乎也不是一件容易的事情，但我们可以根据上述方法进行递推的求解
• 所以就这道题可以看出对于计算机难以求解的问题，人类却可以容易的求解，这也正是数学的巨大力量