2021-4-4 省选模拟赛（灯，十字路口，密室逃脱）

考试复盘

第一题分块虽然明显，但是说实话自己没怎么做过分块的题
就不会做大块的处理。。。(;¬_¬)
今天听H老说分块可以成替代数据结构的骗分暴力对拍神器
这么一听似乎非常有用，今晚要刷一刷了！！
但是我的暴力竟然又挂了！！(*ﾟДﾟ)つﾐ匚___

第二题没有反应过来这个周期其实相当于是找环，暴力判的，额，结果不言而喻

第三题虽然也看得出来是$DP$，但是那个转移方程式确实不可能是我的实力想得到的嘤嘤嘤~~
一般这种有时间关卡的们，隧道等等这种在一条“路”上的$1-n$问题一般都是考察的$DP$，贪心，转化为最短路等图论问题，最多来个线段树分治

今天的题目总的来说，考什么算法是非常显而易见的，但是细节以及实现却成为了难点
大纲清晰考察刁钻，千言万语只能化作一句好！很好！非常好！

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A：灯(light)

分块
连续段数等于开着的灯数减相邻两个都开着的灯对数
次数$<\sqrt{n}$的颜色，直接暴力枚举所在位置更新
次数$>\sqrt{n}$的颜色，维护与这种颜色相邻的开着的灯数
每次我们改变$>\sqrt{n}$的颜色时，直接用这个算答案

#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Pair pair < int, int >
#define maxn 100005
#define Block 350
vector < int > pos[maxn];
int n, m, Q, ans;
int c[maxn], cnt[maxn], t[maxn], big[Block], MS[maxn];
int g[Block][Block];
bool vis[maxn];

int main() {
    
    
	freopen( "light.in", "r", stdin );
	freopen( "light.out", "w", stdout );
	scanf( "%d %d %d", &n, &m, &Q );
	for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {
    
    
		scanf( "%d", &c[i] );
		if( c[i] == c[i - 1] ) i --, n --;
		else;
	}
	for( int i = 0;i <= n;i ++ ) {
    
    
		pos[c[i]].push_back( i ); 
		cnt[c[i]] ++;
	}
	int block = sqrt( n ), ip = 0;
	for( int i = 1;i <= m;i ++ )
		if( cnt[i] > block ) 
			big[++ ip] = i, MS[i] = ip;
		else;
	for( int i = 1;i < n;i ++ )
		g[MS[c[i]]][MS[c[i + 1]]] ++, g[MS[c[i + 1]]][MS[c[i]]] ++;
	while( Q -- ) {
    
    
		int x;
		scanf( "%d", &x );
		if( vis[x] ) {
    
    
			ans -= cnt[x];
			if( MS[x] ) {
    
    
				ans += t[x];
				for( int i = 1;i <= ip;i ++ )
					if( vis[big[i]] ) ans += g[i][MS[x]];
					else;
			}
			else {
    
    
				for( int i = 0;i < pos[x].size();i ++ ) {
    
    
					ans += vis[c[pos[x][i] - 1]];
					ans += vis[c[pos[x][i] + 1]];
					t[c[pos[x][i] - 1]] --;
					t[c[pos[x][i] + 1]] --;
				}
			}
		}
		else {
    
    
			ans += cnt[x];
			if( MS[x] ) {
    
    
				ans -= t[x];
				for( int i = 1;i <= ip;i ++ )
					if( vis[big[i]] ) ans -= g[i][MS[x]];
					else;
			}
			else {
    
    
				for( int i = 0;i < pos[x].size();i ++ ) {
    
    
					ans -= vis[c[pos[x][i] - 1]];
					ans -= vis[c[pos[x][i] + 1]];
					t[c[pos[x][i] - 1]] ++;
					t[c[pos[x][i] + 1]] ++;
				}
			}
		}
		vis[x] ^= 1;
		printf( "%d\n", ans );
	}
	return 0;
}

B：十字路口(crossing)

设$x_i$表示第$i$次观察的时间(对周期取模)
如果有一个灯在两次观察中都是红灯，可以得到一个形如$x_i-x_j=k$的方程
将这看做是$i$指向$j$权值为$k$的有向边，那么一个环的长度显然是周期的倍数
不难证明最小环就是周期，用$floyd$求出，时间复杂度为$O(m^3+n{m}^2)$
同理设$y_i$表示第$i$个灯由红变绿的时间，一样的方法，时间复杂度为$O(n^3+m{n}^2)$
结合两种方法可以做到$O(nm\sqrt{nm})$，哪个小用哪种

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 400
#define maxm 100005
#define inf 0x3f3f3f3f
vector < int > G[maxm];
int n, m;
int dis[maxn][maxn];

int main() {
    
    
	freopen( "crossing.in", "r", stdin );
	freopen( "crossing.out", "w", stdout );
	scanf( "%d %d", &n, &m );
	for( int i = 1;i <= m;i ++ )
		G[i].resize( n );
	for( int i = 1;i <= m;i ++ )
		for( int j = 0;j < n;j ++ )
			scanf( "%d", &G[i][j] );
	memset( dis, 0x3f, sizeof( dis ) );
	int ans = inf;
	if( m <= n ) {
    
    
		for( int i = 1;i <= m;i ++ )
			for( int k = i + 1;k <= m;k ++ )
				for( int j = 0;j < n;j ++ )
					if( G[i][j] && G[k][j] ) {
    
    
						if( G[i][j] > G[k][j] )
							dis[i][k] = G[i][j] - G[k][j];
						else
							dis[k][i] = G[k][j] - G[i][j];
					}
					else;
		for( int k = 1;k <= m;k ++ )
			for( int i = 1;i <= m;i ++ )
				for( int j = 1;j <= m;j ++ )
					dis[i][j] = min( dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j] );
		for( int i = 1;i <= m;i ++ )
			ans = min( ans, dis[i][i] );
	}
	else {
    
    
		for( int j = 0;j < n;j ++ )
			for( int k = j + 1;k < n;k ++ )
				for( int i = 1;i <= m;i ++ )
					if( G[i][j] && G[i][k] ) {
    
    
						if( G[i][j] > G[i][k] )
							dis[j][k] = G[i][j] - G[i][k];
						else
							dis[k][j] = G[i][k] - G[i][j];
					}
					else;
		for( int k = 0;k < n;k ++ )
			for( int i = 0;i < n;i ++ )
				for( int j = 0;j < n;j ++ )
					dis[i][j] = min( dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j] );
		for( int i = 0;i < n;i ++ )
			ans = min( ans, dis[i][i] );
	}
	if( ans == inf ) printf( "-1\n" );
	else printf( "%d\n", ans );
	return 0;
}

C：密室逃脱(escape)

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define Edge 20000
#define maxn 1005
int n, m;
int a[maxn], b[maxn];
int dp[maxn][Edge + 5];

int main() {
    
    
	freopen( "escape.in", "r", stdin );
	freopen( "escape.out", "w", stdout );
	scanf( "%d %d", &n, &m );
	for( int i = 1;i < n;i ++ )
		scanf( "%d %d", &a[i], &b[i] );
	for( int i = 0;i < m;i ++ ) dp[1][i] = i;
	for( int i = 1;i < n;i ++ ) {
    
    
		int maxx = 0;
		for( int j = 0;j < a[i];j ++ ) {
    
    
			dp[i + 1][j + b[i]] = max( dp[i + 1][j + b[i]], dp[i][j] + b[i] );
			maxx = max( maxx, dp[i][j] );
		}
		for( int j = 0;j < b[i];j ++ )
			dp[i + 1][j] = max( dp[i + 1][j], maxx + j );
		for( int j = a[i];j < a[i] + b[i];j ++ )
			dp[i + 1][j - a[i]] = max( dp[i + 1][j - a[i]], dp[i][j] );
		for( int j = a[i] + b[i];j <= Edge;j ++ )
			dp[i + 1][j] = max( dp[i + 1][j], dp[i][j] );
	}
	int ans = 0;
	for( int i = 0;i <= Edge;i ++ )
		ans = max( ans, dp[n][i] );
	printf( "%d\n", ans );
	return 0;
}