计蒜客 - T3144

题目

有 n 个不同的气球和 m 个不同的重物，每个气球都可以提供 1N 的升力（竖直向上），每个重物都会受到 1N

的重力（竖直向下）。

现要选出若干个气球和若干个重物，将他们固定在一起，并且使得固定之后的整体受力平衡，请问共有多少种满足条件的方案？
输入格式

输入数据第一行一个正整数 T

，表示测试数据组数

接下来 T
行，每行包含两个空格隔开的正整数 n 和 m

输出格式

输出 T
行，每行包括一个数字，表示答案除以 109+7

的余数
数据范围

对于 20%
的数据，m=1

对于 60%
的数据，1≤n,m≤103，1≤T≤104

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对于全部的数据，1≤n,m≤106
，1≤T≤106

Sample Input

1
2 3

Sample Output

9

Sample Explain

不妨用 b1,b2

表示两个气球，用 w1,w2,w3

表示三个重物

下面每行都描述了一个符合要求的方案

b1,w1

b1,w2

b1,w3

b2,w1

b2,w2

b2,w3

b1,b2,w1,w2

b1,b2,w1,w3

b1,b2,w2,w3

解题

1.从例子中我们可以得到公式：$2\ast 3+1\ast 3=9$
2.上面可以化成${\mathrm{C}}_2^1\ast {\mathrm{C}}_3^1+{\mathrm{C}}_2^2\ast {\mathrm{C}}_3^2=9$
3.所以我们可以得到一个通式：当n<=m,答案为${\mathrm{C}}_n^1\ast {\mathrm{C}}_m^1+{\mathrm{C}}_n^2\ast {\mathrm{C}}_m^2+...+{\mathrm{C}}_n^n\ast {\mathrm{C}}_m^n$
4.这里就要用到lucas定理，得到以下化简：
${\mathrm{C}}_n^0\ast {\mathrm{C}}_m^0+{\mathrm{C}}_n^1\ast {\mathrm{C}}_m^1+{\mathrm{C}}_n^2\ast {\mathrm{C}}_m^2+...+{\mathrm{C}}_n^n\ast {\mathrm{C}}_m^n={\mathrm{C}}_{n+m}^n$
5.所以我们要的结果就是${\mathrm{C}}_{n+m}^n-1=\frac{(n+m)!}{n!m!}-1$
6.程序开始打表，得到阶乘的表，然后可以直接得到分子，然后乘分母的逆元就可以得到答案

代码

#include <stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
ll ff[2000005];  //n+m
ll quick_pow(ll x,ll n,ll m)
{
    
    
	ll res = 1;
	while(n > 0)
	{
    
    
		if(n & 1)
            res = res * x % m;
		x = x * x % m;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
ll inv(ll a)
{
    
    
    return quick_pow(a,mod - 2,mod);
}

int main()
{
    
    
    ll m,n;
    ff[0]=1;
    for(int i=1;i<=2000000;i++) //打表
        ff[i]=(ff[i-1]*i)%mod;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
    
    
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ll ans=((ff[n+m]*inv(ff[n]))%mod*inv(ff[m]))%mod; //一定要每一步%mod
        printf("%lld\n",ans-1);
    }
    return 0;
}