Codeforces Round #726 (Div. 2) D. Deleting Divisors

D. Deleting Divisors

题意

给一个正整数 $n$ ，每轮可以减掉 $n$ 的一个因子，但不能是 $1$ 或 $n$ 。轮到自己回合不能行动算输。Alice 先手，问谁能赢。

题解

• 如果 $n$ 是一个奇数：
  • 如果 $n$ 是质数那么 Alice 不能行动，Bob 获胜；
  • 否则 $n$ 可以表示为两个奇数的乘积， Alice 行动之后 $n$ 必定是一个偶数，并且有奇数因子（所以不可能是 $2$），那么 Bob 可以把 $n$ 减掉一个奇数因子，这样 $n$ 又变成一个奇数。所以这种情况 Bob 必胜；
• 如果 $n$ 是一个有奇数因子的偶数，那么 Alice 可以通过上面的方法必胜；
• 否则 $n$ 是一个没有奇数因子的偶数，也就是 $n=2^k$ ，此时 Alice 必定要减掉 $2^{k-1}$ ，否则 $n$ 会出现奇数因子，也就变成了第二种情况， Alice 必败。同样 Bob 也每次减掉 $2^{k-1}$ 。最后当 $n=2$ 的时候结束，所以 $k$ 是奇数 Bob 必胜，否则 Alice 必胜。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i <= n; ++i)
#define per(i, a, n) for (int i = n; i >= a; --i)
#ifdef LOCAL
#include "Print.h"
#define de(...) W('[', #__VA_ARGS__,"] =", __VA_ARGS__)
#else
#define de(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
void solve() {
    
    
    ll n;
    scanf("%lld", &n);
    if (n & 1) {
    
    
        puts("Bob");
        return;
    }
    int cnt = 0;
    while (n % 2 == 0) cnt++, n /= 2;
    if (n != 1) puts("Alice");
    else puts(cnt % 2 ? "Bob" : "Alice");
}
int main() {
    
    
#ifdef LOCAL
    freopen("in.in", "r", stdin);
    freopen("out.out", "w", stdout);
#endif
    int T = 1;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) solve();
    return 0;
}