【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（7）：逆矩阵

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标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

2.3 逆矩阵

定义

对于n阶矩阵 $A$，如果有一个n阶矩阵 $B$，使得 $AB=BA=E$

说明矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵

记住

如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵一定是唯一的。

证： ​ 假设 B、C均是A的逆矩阵，有

$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$

得出 B=C

所以 ​ A的逆矩阵是唯一的。

写法

$A$的逆矩阵记作 $A^{-1}$ ​ 若 $AB=BA=E，则B=A^{-1}$

定理1

内容

若矩阵A可逆，那么 $|A|\neq 0$

证明

因为 矩阵A可逆 ​ 那么一定有 $A^{-1}$，使得

$AA^{-1}=E$

推出

$|AA^{-1}|=|E| \\==> |A||A^{-1}|=|E|=1\\ ==> |A|\neq 0$

定理2

内容

若 $|A|\neq 0$，则矩阵 $A$可逆，且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$，其中 $A^*$为 $A$的伴随矩阵

证明

已知 $AA^*=|A|E$ （|A|是一个常数）

因为 $|A|\neq 0$

所以 $\frac{1}{|A|}AA^*=A\frac{1}{|A|}A^*=A(\frac{1}{|A|}A^*)=E$

又因为 $A^*A=AA^*$

所以 $\frac{1}{|A|}AA^*=\frac{1}{|A|}A^*A=(\frac{1}{|A|}A^*)A=E$

由

$$\begin{cases} A(\frac{1}{|A|}A^*)=E \\ (\frac{1}{|A|}A^*)A=E \end{cases}$$

得知 矩阵A存在逆矩阵，

且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

证明完成！

推论​

若 $AB=E（或BA=E$，则 $B=A^{-1}$

证明：

因为 $AB=E$

所以 $|A||B|=|E|=1$

故 $|A|\neq0$， $A^{-1}$存在

$B=EB=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}E=A^{-1}$

证明完成！

运算规律

方阵的逆矩阵满足运算规律 ​ （1） 若 $A$可逆，则 $A^{-1}$也可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$

证明：

因为 $A$可逆

所以

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

这里令 $B=A$,得到

$BA^{-1}=A^{-1}B=E$

推出

$A^{-1}可逆$

且

$(A^{-1})^{-1}=B=A$

证明完成！

(2) 若 $A$可逆，数 $\lambda \neq 0$，则 $\lambda A$可逆，且 $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$

证明：

因为 $A$可逆

所以

$AB=BA=E$

对于 $\lambda A$来说

一定存在 $\frac{1}{\lambda} B$使得

$(\lambda A)(\frac{1}{\lambda}B)=(\frac{1}{\lambda}B)(\lambda A)=E$ 所以

$\lambda A$ 也可逆

同时

$(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}B=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$

(3) 若 $A、B$为同阶矩阵且均可逆，则 $AB$均可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ​ 证明：

因为 $A、B$为同阶矩阵且均可逆

所以

• ​ $AC=CA=E (C=A^{-1})$
• ​ $BD=DB=E (D=B^{-1})$

因为

• ​ $(AB)(DC)=A(BD)C=AEC=AC=E$
• ​ $(DC)(AB)=D(CA)B=DEB=DB=E$

所以

$AB$可逆，且 $(AB)^{-1}=DC=B^{-1}A^{-1}$

证明完成！

(4) 若 $A$可逆，则 $A^{T}$也可逆，且 $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

证明：

因为 $A$可逆

则

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

进行转置，得

$(AA^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E^T$

由 $(AB)^T=B^TA^T$ 得

$(A^{-1})^TA^T=A^T(A^{-1})^T=E^T=E$

所以

$A^T$可逆

且

$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

证明完成！

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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